特殊線型群

特殊線型群 (Special Linear Group)

数学、特に線型代数学および群論において、体 F 上の次数 n の特殊線型群（とくしゅせんけいぐん、英: special linear group）SL(n, F) とは、F の元を成分とする n 次正方行列のうち、行列式が 1 であるもの全体の集合が、通常の行列の積と逆行列をとる演算のもとで群をなすものを指します。

この群は、より一般的な群である一般線型群 GL(n, F) の重要な部分群として位置づけられます。具体的には、GL(n, F) から F の乗法群（F からゼロを除いた集合 F^×）への行列式を計算する写像 `det: GL(n, F) → F×` を考えたとき、特殊線型群 SL(n, F) はこの写像の核（つまり、行列式が F^× の単位元である 1 となる元の集合）として得られます。したがって、SL(n, F) は常に GL(n, F) の正規部分群となります。特殊線型群の元、すなわち行列式が 1 である行列は、行列式が行列の成分に関する多項式であることから、一般線型群がなす空間の中のある特定の多項式によって定義される部分多様体と見なすこともできます。

幾何学的な意味付け

体 F が実数体 R の場合、特殊線型群 SL(n, R) は特に重要な幾何学的解釈を持ちます。SL(n, R) の元である行列は、n次元ユークリッド空間 Rⁿ における線型変換と対応しますが、その行列式が 1 であるという条件は、対応する線型変換が体積と向きを同時に保つことを意味します。これは、線型変換が空間の体積や向きをどれだけ変化させるかを行列式が測っているという性質に対応しています。

リー群およびリー代数

F が実数体 R または複素数体 C である場合、SL(n, F) は GL(n, F) のリー部分群となります。その次元は n² - 1 です。SL(n, F) に対応するリー代数 `sl(n, F)` は、F 上の n 次正方行列のうち、トレース（対角成分の和）がゼロであるもの全体からなります。このリー代数におけるリー括弧積は、行列の交換子積 [A, B] = AB - BA によって与えられます。

位相構造

特殊線型群の位相構造は、基礎となる体によって異なります。

複素数体 C 上の特殊線型群 SL(n, C) に属する任意の行列は、極分解により、特殊ユニタリ行列（ユニタリ行列で行列式が1のもの）と、行列式が 1 である正定値エルミート行列の積として一意的に分解できます。ユニタリ行列の行列式は単位円上の複素数であり、正定値エルミート行列の行列式は正の実数であるため、積の行列式が1となるためには、それぞれの行列式が共に1でなければならないからです。したがって、SL(n, C) の位相は、特殊ユニタリ群 SU(n) と、行列式が 1 である正定値エルミート行列全体がなす群の積位相によって定まります。行列式が 1 の正定値エルミート行列は、トレースがゼロであるエルミート行列の指数関数行列として一意に表現できるため、その空間は (n² - 1) 次元のユークリッド空間と同相となります。

実数体 R 上の特殊線型群 SL(n, R) の場合も同様に、特殊直交行列（直交行列で行列式が1のもの、特殊直交群 SO(n) の元）と、行列式が 1 である正定値対称行列の積に分解できます。SL(n, R) の位相は、特殊直交群 SO(n) と、行列式が 1 である正定値対称行列全体がなす群の積位相で与えられます。行列式が 1 の正定値対称行列は、トレースがゼロの対称行列の指数関数行列として一意に表現でき、その空間は (n+2)(n-1) 次元のユークリッド空間と同相です。

位相的な性質として、SL(n, C) は特殊ユニタリ群 SU(n) と同様に単連結ですが、SL(n, R) は特殊直交群 SO(n) と同様に単連結ではありません。SL(n, R) の基本群は、GL⁺(n, R) や SO(n) と同じであり、n=1 または n=2 の場合は整数環 Z と同型、n > 2 の場合は2元体上のベクトル空間 Z₂ と同型となります。

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