ヘルムホルツ方程式

ヘルムホルツ方程式

ヘルムホルツ方程式は、19世紀の物理学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツに名を由来とする、楕円型の偏微分方程式です。この方程式は次のように表現されます。

$$
(

abla^2 + k^2
) A = 0
$$

ここで、$
abla^2$はラプラシアン演算子、$k$は定数、$A$は三次元空間$(x, y, z)$内で定義された未知関数を示します。特に、$k = 0$の時はラプラス方程式と呼ばれます。

用途と背景

ヘルムホルツ方程式は、時間や空間の両方に関連する偏微分方程式が特定の物理学的問題に現れる際に、頻繁に利用されます。その際、変数分離法を用いることで、時間に依存しない形の方程式として現れるのです。たとえば、波動方程式は次のように表現されます。

$$
igg(

abla^2 - rac{1}{c^2} rac{ ext{d}^2}{ ext{d}t^2}
igg) u(r, t) = 0
$$

ここで、$u(r, t)$を空間部分$A(r)$と時間部分$T(t)$に分離すると、元の波動方程式はヘルムホルツ方程式と二階の常微分方程式に帰着されます。

$$
egin{aligned}
(
abla^2 + k^2) A &= 0, \\
igg(rac{ ext{d}^2}{ ext{d}t^2} +
u^2igg) T &= 0
ext{（ここで、$k$は分離定数、$
u = kc$と設定）}
egin{aligned}
ext{このように、空間に関するヘルムホルツ方程式と、時間に関する常微分方程式が得られる。常微分方程式の解は、角振動数$
u$で表される正弦波の線形結合として示され、一方、空間の解は境界条件によって決まります。}

また、ラプラス変換やフーリエ変換によって、他の型の偏微分方程式をヘルムホルツ方程式に変換することも可能です。この方程式は様々な物理学の分野、特に電磁波の放射、地震学、音響学などにおいて非常に重要な役割を果たしています。

変数分離による解法

ヘルムホルツ方程式に関する空間部分の一般解は、変数分離を用いて求めることができます。球座標での一般解は次のように表されます。

$$
A(r, \theta, \phi) = \sum_k \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l}\{a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} n_l(kr)\} Y_{l}^{m}(\theta, \phi)
$$

ここで、$j_l$と$n_l$はそれぞれ球ベッセル関数、$Y_l^{m}(\theta, \phi)$は球面調和関数です。一方、2次元極座標における一般解は次のようになります。

$$
A(r, \theta) = \sum_k \sum_{n=0}^{\infty}\{a_n \cos(n \theta) + b_n \sin(n \theta)\} J_n(kr)
$$

この解は、原点での正則性を持つものであり、解の境界条件によって特定の価値が決定されます。

近軸近似

ヘルムホルツ方程式の近軸（paraxial）表現において、解を

$$A(r) e^{-jkz}$$

の形で仮定すると、次のような方程式を得ることができます。

$$
abla_{T}^{2} A - 2jk \frac{ ext{d}A}{ ext{d}z} = 0
$$

この方程式は光学に重要な応用があり、特に放物面波やガウシアンビームといった形の電磁波の伝播を解析するために用いられます。多くのレーザー装置から放射されるビームは、そのような形状を持つことがよくあります。近軸近似では、電場の複素振幅$E$は以下のように表されます。

$$E(r) = A(r) e^{-jkz}$$

ここで、$A$は電場の複素強度を表し、波動が指数関数的に変調されています。近軸近似では、電場の振幅と伝播の相互作用に関していくつかの条件が成立し、光学の分野での重要な性質になります。

関連項目

ポアソン方程式
ラプラス方程式
電磁気学
音響解析
* スツルム＝リウヴィル型微分方程式

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