ベジェ曲面

ベジェ曲面

ベジェ曲面（Bézier surface）は、コンピュータグラフィックスやコンピュータ支援設計（CAD）、有限要素モデリングなどで広く利用されている数学的スプラインの一つです。これは制御点の集合を元にしており、これによって曲線や曲面を描くことができます。ベジェ曲面は補間に似た特性を持ちつつも、制御点を直接通過しない点が特徴です。そのため、各制御点が次の形状へ「引っ張る」ように作用し、滑らかな曲面が形成されます。視覚性に優れ、数学的にも扱いやすい特長を持っています。

歴史

ベジェ曲面は1962年、フランスの技術者ピエール・ベジェによって初めて定義され、自動車のボディ設計に応用されました。これにより設計プロセスが効率化され、以後のグラフィックス設計においても重要な役割を果たすようになりました。ベジェ曲面の次数は任意で設定可能ですが、バイキュービック（双3次）ベジェ曲面が一般的に多くの用途において十分な表現力を持っています。

方程式

ベジェ曲面は、次数を (n, m) とし、(n + 1)(m + 1) 個の制御点の集合 ${k_{i,j}}$ で定義されます。ここで i は 0 から n、j は 0 から m の範囲に指定されます。この制御点は、単位正方形を含む滑らかで連続的な曲面を形成します。例えば、4次元空間内にある制御点が指定されれば、曲面も同様に4次元空間に存在します。

曲面上の点の位置は、次のようなパラメトリック式で評価されます：

$$
extbf{p}(u,v) = ext{Sum}_{i=0}^{n} ext{Sum}_{j=0}^{m} B_{i}^{n}(u) B_{j}^{m}(v) k_{i,j}
$$

ここで、$B_{i}^{n}(u)$は基底バーンスタイン多項式であり、$${n race i}$$は二項係数です。この方程式により、曲面の形状を詳細に定義できます。

ベジェ曲面の性質

ベジェ曲面は、すべての線形変換および平行移動に対して同じ影響を受けます。さらに、値が一定の線を変形した際は、その結果もベジェ曲線として表現されます。そして、曲面は制御点の凸包内に完全に収まりますので、どの直交座標系の中でも制御点によって形成された外接多角形の内部に収束します。また、曲面の4つの角に対応する点は、それぞれの制御点に位置しますが、一般的には他の制御点には通過しません。

最も一般的な使用方法としては、バイキュービックパッチ（m = n = 3）での網目（nets）構造があり、16個の制御点により形状が完全に定義されます。これらのパッチは、B-スプライン曲面を構成するために連結されることが多いです。

コンピュータグラフィックスにおける役割

ベジェパッチメッシュは、滑らかな曲面を表現するのに非常に効果的であり、三角形メッシュよりもメモリ効率が良いです。必要な点が少なくて済み、かつ操作も簡単です。さらに、球面や円柱などの一般的なパラメトリック曲面も、3次のベジェパッチで良い近似が可能です。しかし、直接的なレンダリング作業は難しく、特に直線との交点の計算が複雑です。そのため、3Dレンダリングプロセスでは、最終的に平面の三角形メッシュに細分化されることが一般的です。

高品質なビジュアルを得るためには、三角形の境界が目立たないように細分化を行い、さらにテクスチャマッピングやバンプマッピングなどの技術を適用して細部を表現します。このようにして、ベジェ曲面の持つ情報の持続性と見た目の美しさを両立させることが可能になります。

まとめ

ベジェ曲面は、様々な分野で利用されている強力な数学的ツールです。その直感的な特性と高い柔軟性により、設計やモデリング工程で不可欠な要素となっています。

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