ベッケンシュタイン境界

ベッケンシュタイン境界

物理学において、ベッケンシュタイン境界（Bekenstein bound）はエントロピー Sまたは情報量 Iの最大値を示す重要な原理です。この法則は、特定の有界な空間内で、有限のエネルギーを持つ物理系が持ちうる情報の量は限られていることを意味しています。特に、与えられた物理系を量子レベルで完全に記述するために必要な情報量は、空間の広さやエネルギーが有限であれば、必ず有限である必要があります。

計算機科学の観点から見ると、この理論は有限のサイズとエネルギーを持つ物理系に対して、情報処理の最大限界が存在することを示唆しています。具体的には、物理的な次元内で無限のメモリを持つチューリングマシンの実現は不可能であるとされています。

理論的背景

ベッケンシュタイン境界は、ヤコブ・ベッケンシュタインによって導入されました。彼は次の不等式を発表し、エントロピー Sは次のように表されます。

$$
S \leq \frac{2\pi k R E}{\hbar c}
$$

ここで、Sはエントロピー、kはボルツマン定数、Rは系を囲む球の半径、Eは系の全質量エネルギー、\( \hbar \) はディラック定数、cは光の速度です。この式は、エネルギー당エントロピーの関係性を明らかにしています。

エネルギーと情報の関係を考慮すると、情報量は次の式でも示されます。

$$
I \leq \frac{2\pi R E}{\hbar c \ln 2}
$$

ここで、Iは球内の量子状態のビット数で表される情報量を表しています。

起源と発展

ベッケンシュタインはこの境界を、ブラックホールの熱力学に基づいて導き出しました。彼は、過剰なエントロピーを持つ物理系がブラックホールにおいてエントロピーを減少させることが可能であり、これが熱力学第二法則に矛盾する可能性があると指摘しました。1995年には、テオドール・ジェイコブソンがアインシュタインの場の方程式を用いて、この境界と熱力学の法則の組み合わせが成立することを示しました。

ただし、熱力学の法則と一般相対性理論の整合性を保つためには、ある境界が存在する必要があるとの議論も行われており、この境界の正確な定式化については未だに議論が続いています。

具体例

ブラックホール

ブラックホールに関連する境界は、エントロピーが関与する物理現象としてしばしば取り上げられます。具体的には、3次元のブラックホールにおけるホーキング・ベッケンシュタインのエントロピーは、次の式で表現されます。

$$
S = \frac{k A}{4}
$$

ここでAはブラックホールの事象の地平線の面積を表します。この理論はブラックホールの熱力学や、ホログラフィック原理、量子重力に関連しています。

人間の脳

また、平均的な人間の脳についても考察された例があります。脳の重さが約1.5kg、体積が1260cm³とすると、ベッケンシュタイン境界から推定される情報量はおよそ2.6×10^42ビットとなります。これは、量子レベルで人間の脳の状態を完全に模倣するために必要な最大の情報量に相当します。

このように、ベッケンシュタイン境界は、物理系全般における情報の限界を理解する上で、極めて重要な概念です。今後もこの分野の研究が進むことで、新たな知見が得られることが期待されています。

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