ベールの範疇定理

数学におけるベールの範疇定理（Baire category theorem）は、位相空間論および関数解析学において非常に重要な役割を果たす定理です。フランスの数学者ルネ＝ルイ・ベールが1899年に博士論文で発表しました。この定理は、ある種の位相空間がベール空間と呼ばれる望ましい性質を持つための十分条件を与えるもので、主に二つの異なる形で定式化されています。

まず、ベール空間とはどのような空間でしょうか。これは、「その空間における開集合であり、かつ元の空間で『稠密』（どの開集合とも空でない共通部分を持つ）であるような部分集合を可算無限個集めてきたときに、それらすべての共通部分をとってもなお元の空間で稠密になる」という性質を持つ位相空間です。

ベールの範疇定理の主要な主張は以下の通りです。

主張 1 (BCT1): 任意の完備距離空間はベール空間です。さらに一般的に、完備な擬距離空間の開部分集合と同相な位相空間や、完備距離を入れることができる（完備距離化可能である）空間もベール空間となります。この主張は解析学、特に関数解析学において広く応用されています。
主張 2 (BCT2): 任意の局所コンパクトなハウスドルフ空間はベール空間です。この主張の証明は主張1と類似していますが、局所コンパクト性が証明の鍵となります。重要な点として、これら二つの主張は一方が他方を包含するものではありません。例えば、局所コンパクトではない完備距離空間（無限次元のバナッハ空間など）や、距離を入れることができない局所コンパクトハウスドルフ空間（非可算無限個の空間の積など）が存在するためです。

ベールの範疇定理には、これらと同値な別の表現もあります。

主張 3 (BCT3): 空でない完備距離空間、またはその空間の内点を含む部分集合は、「疎」（nowhere dense、つまりその閉包の内部が空である）な閉集合の可算無限個の和としては表すことができません。この定式化は、応用上しばしば有用です。これからは、「空でない完備距離空間が閉集合の可算無限個の和で表されるならば、その閉集合のうち少なくとも一つは内部が空でない（つまり、その閉包が元の空間のある開集合を含む）」という結論が導かれます。

これらの定理の証明には、一般的な集合論（ZF公理系）に加えて、「選択公理」と呼ばれる特別な公理を用いる必要があります。特に主張1（BCT1）は、「従属選択公理」という選択公理の比較的弱い形と同値であることが知られています。しかし、もし対象とする完備距離空間がさらに「可分」（稠密な可算部分集合を持つ）であるという制限を加えれば、選択公理を仮定することなくZF公理系のみでベールの範疇定理を証明することができます。実数全体の集合や、数学的な対象空間として用いられるベール空間（$\omega^\omega$）、カントール空間（$2^\omega$）などは可分な完備距離空間であり、この弱い形の範疇定理が適用可能です。

ベールの範疇定理は、数学の様々な分野で利用されています。

関数解析学での応用: 関数解析学における最も基本的な定理である「開写像定理」、「閉グラフ定理」、そして「一様有界性原理」の証明には、ベールの範疇定理（特にBCT1）が不可欠です。
集合の濃度に関する結論: 孤立点を持たない（つまり、各点の周りにその点だけを含むような開集合が存在しない）完備距離空間が、非可算（数え上げることのできない無限個の要素を持つ）であることを示すのに用いられます。実際、孤立点を持たない可算完備距離空間が存在すると仮定すると、各一点集合が疎になり、空間全体が疎な集合の可算和となってしまう（第一類集合となる）ため、これは主張3（BCT3）に矛盾します。特に、このことから実数全体の集合が非可算であることが導かれます。
具体的なベール空間の例: ベールの範疇定理により、以下の空間がベール空間であることが示されます。
実数全体の集合$\mathbf{R}$（通常の距離に関して完備距離空間であるため）。
特定の距離（連分数展開の最初の不一致項に基づく距離）を導入した無理数全体の集合（これも完備距離空間となります）。
カントール集合。
任意の有限次元ハウスドルフ多様体（これは局所コンパクトハウスドルフ空間であるため、BCT2によりベール空間となります。たとえ距離化可能でない場合（例：長い直線）でもこれは成り立ちます）。

このように、ベールの範疇定理は、特定の性質を持つ空間が「豊富さ」や「大きさ」に関するベール空間の性質を持つことを保証し、様々な数学的な議論の基盤となっています。

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