ホンフリー多項式
ホンフリー多項式とは
ホンフリー多項式（HOMFLY polynomial）は、結び目理論の有向絡み目に関連する2変数の多項式不変量です。この多項式は、特定の有向絡み目の様々な性質を反映しており、6人の数学者の頭文字を取って名付けられました。彼らはJ. Hoste、A. Ocneanu、K. Millett、P. Freyd、W.B.R. Lickorish、D. Yetterです。さらに、関連する2人の数学者の名前を加えたフリプモス多項式（FLYPMOTH polynomial）や、他の研究者によるリンプトーフ多項式（LYMPHTOFU polynomial）といった別名も存在します。
定義
ホンフリー多項式は、有向絡み目の射影図 L に対して PL(m, l) として記述され、次の二つのルールに基づいて定義されます。
1. ルール1
2. ルール2
このようにして定義されることで、あらゆる有向絡み目に対してホンフリー多項式を求めることが可能であり、この計算のためのコンピュータプログラムも開発されています。
性質
ホンフリー多項式は一つの重要な性質を持っています。それは、多変量の多項式であり、同じ有向絡み目の異なる射影図においても、電算結果が一定であることです。また、向きを逆にしても変わらないため、向きのない結び目に対する不変量ともみなされますが、これは可逆性の調査には使えません。特に、ある絡み目に関するホンフリー多項式内の l を l^{-1} に置き換えると、その絡み目の鏡像が得られます。このことから、両手型の絡み目ではホンフリー多項式が l について回文的になりますが、逆には成り立ちません。
さらに、この多項式はスケイン関係式によって定義されるスケイン多項式の最も一般化された形であり、ジョーンズ多項式やアレクサンダー多項式の情報を包含しています。具体的には、l=it^{-1}、m=i(t^{-1/2}-t^{1/2})とすると、ジョーンズ多項式が得られ、l=i、m=i(t^{1/2}-t^{-1/2})ではアレクサンダー多項式になります（ここでiは虚数単位です）。
分離和と連結和の公式
また、異なる絡み目 L1 と L2 の分離和および連結和に対するホンフリー多項式の表現も存在しており、次のように表されます。
1. 分離和の公式:
P(L1 ∪ L2) = −(l + l^{-1})m^{-1}P(L1)P(L2)
2. 連結和の公式:
P(L1 # L2) = P(L1)P(L2)
連結和に関しては、絡み目のどの成分を連結させるかにより、状態は変わりますが、この公式は成り立ち続けます。これによりホンフリー多項式を持つ異なる絡み目が存在し、そのためにホンフリー多項式が完全な不変量でないことが示されています。1986年には、同じホンフリー多項式を持つ無限の異なる有向結び目の存在が証明されました。
別の表現
ホンフリー多項式は、スケイン関係式を用いて次のように表現することも可能です。
xP_{L_{+}}(x,t) - tP_{L_{-}}(x,t) = P_{L_{0}}(x,t)
脚注
このように、ホンフリー多項式は結び目理論において中心的な役割を果たし、その計算方法や性質、関連する他の多項式との関係が重要な研究対象となっています。これらの概念は、結び目の理解を深めるための強力なツールを提供します。
参考文献
外部リンク
もう一度検索
【記事の利用について】
タイトルと記事文章は、記事のあるページにリンクを張っていただければ、無料で利用できます。
※画像は、利用できませんのでご注意ください。
【リンクついて】
リンクフリーです。