ボホナー可測関数

ボホナー可測関数について

数学における関数解析学の一分野では、ボホナー可測関数と呼ばれる特異な関数の概念が存在します。この関数は、バナッハ空間に値を持ち、特定の可測性を満たす必要があります。このボホナー可測関数は、可測な可算値関数の列にマッピングされ、その極限がほぼすべての点で達成されるという特性があります。

具体的には、ある関数$f(t)$がボホナー可測であるためには、可算の関数列$f_n(t)$に対して以下の条件を満たす必要があります：
$$f(t) = ext{lim}_{n o ext{∞}} f_n(t) ext{ ほぼすべての } t ext{ に対して}.$$
ここで$ f_n(t) $はそれぞれ可算の値域を持ち、任意の$x$に対して原像$f^{-1}\{x"}$が可測であることが求められます。

このボホナー可測関数の名は、数学者サロモン・ボホナーに由来しています。ボホナー可測関数は、しばしば強可測関数やμ-可測関数といった用語でも言及されることがあります。また、特にバナッハ空間間の連続線型作用素が値を取る場合には、一様可測関数と呼ばれることもあります。

ボホナー可測関数の性質

ボホナー可測関数についての重要な性質の一つは、可測性と弱可測性の関連性を明示するペティスの定理です。この定理によれば、関数$f$がほぼ確実に可分値であるとは、測度空間$(X, Σ, μ)$内に存在する部分集合$N ⊆ X$で、その測度が0であるようなものを指します。この場合、$f(X ackslash N) ⊆ B$が可分であれば、$f$はほぼ確実に可分値であるとされます。

さらに、あるバナッハ空間$B$に値を取る関数$X → B$が強可測であるための必要十分条件は、当該関数が弱可測かつほぼ確実に可分値であることです。もし$B$が可分な空間であれば、可分空間の任意の部分集合も可分性を持つため、上記に述べた部分集合$N$を空集合にすることも可能です。よって、$B$が可分であれば、弱可測性と強可測性の概念が一致します。

関連項目

ボホナー可測関数に関連した概念として、ボホナー積分、ペティス積分、ボホナー空間、可測空間、ベクトル測度、可測関数などが挙げられます。これらの概念は、ボホナー可測関数の理解を深めるうえで重要なものであり、数学のさまざまな応用にも影響を与えています。

参考文献

Ralph E. Showalter (1997). “Theorem III.1.1”. Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. Mathematical Surveys and Monographs 49. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 103. ISBN 0-8218-0500-2. MR1422252.

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