ボホナー空間

ボホナー空間

数学、特に解析学の分野において、ボホナー空間（英: Bochner space）は、標準的なLp空間の考え方を拡張した関数空間です。通常のLp空間では、関数は実数または複素数の値を持ちますが、ボホナー空間では、関数の値域がより一般的なバナッハ空間 `X` となります。

概要とLp空間との関係

ボホナー空間 `Lp(T; X)` は、測度空間 `(T, Σ, μ)` 上で定義され、バナッハ空間 `X` に値をとる関数を扱います。これは、測度空間 `T` 上で定義された関数 `f` で、その値 `f(t)` が `X` の要素であるようなものを考えます。

ボホナー空間 `Lp(T; X)` に属する関数 `u` は、いくつかの数学的な条件を満たす必要があります。まず、`u` はボホナー可測である必要があります。さらに重要なのは、`u` の `X` におけるノルム `||u(t)||X` を考えたときに、この非負値関数 `t ↦ ||u(t)||X` が、測度空間 `(T, Σ, μ)` 上の通常のLp空間 `Lp(T)` に属するということです。つまり、そのノルムのp乗の積分の値が有限であるという条件が課されます。

もし `X` が複素数全体の空間 `C` であるならば、ボホナー空間 `Lp(T; C)` はまさに通常のルベーグ空間 `Lp(T)` そのものとなります。このように、ボホナー空間はLp空間を「ベクトル値関数」へと一般化した概念と言えます。

多くの重要な性質がLp空間からボホナー空間に引き継がれます。特に、ボホナー空間 `Lp(T; X)` は、パラメータ `p` が `1 ≤ p ≤ ∞` の範囲にあるとき、それ自体がバナッハ空間となります。これは、完全性などの便利な性質を持つことを意味し、解析的な議論を行う上で非常に有用です。

名称の由来

ボホナー空間という名前は、この空間の理論に貢献したポーランド系アメリカ人の数学者、サロモン・ボホナー（Salomon Bochner）にちなんで名付けられました。

厳密な定義

より正確には、測度空間 `(T, Σ, μ)`、バナッハ空間 `(X, || · ||X)`、および `1 ≤ p ≤ +∞` が与えられたとき、ボホナー空間 `Lp(T; X)` は、以下のノルムが有限となるような、`T` から `X` へのボホナー可測関数 `u` 全体の集合における「ほとんど至るところで等しい」という同値関係による商空間として定義されます。

• - `1 ≤ p < ∞` の場合:

math
\|u\|_{L^{p}(T;X)} := \left(\int_{T} \|u(t)\|_{X}^{p}\,d\mu(t)\right)^{1/p} < +\infty

• - `p = ∞` の場合:

math
\|u\|_{L^{\infty}(T;X)} := \mathrm{ess\,sup}_{t \in T} \|u(t)\|_{X} < +\infty

ここで `ess sup` は本質的上限を表します。

数学の文脈では、これらの空間の要素は厳密には関数の同値類ですが、しばしば便宜上「関数」として扱われます。

応用

ボホナー空間は、関数解析学を用いて時間依存の偏微分方程式を研究する際に頻繁に登場します。例えば、熱方程式のような発展方程式を考える場合、解 `g(t, x)` は時間 `t` と空間 `x` の両方に依存します。ここで、`x` を固定したときの関数 `t ↦ g(t, x)` を考えるのではなく、時間 `t` を固定したときの関数 `x ↦ g(t, x)` を一つの「値」と見なすアプローチが有効です。

具体的には、時間 `t` を変化させたときに、空間変数 `x` に関する関数全体（空間に関する関数空間、例：ソボレフ空間など）を追跡するという視点を取ることができます。このとき、空間に関する関数空間をバナッハ空間 `X` と考えれば、解 `g` は時間をパラメータとする `X` に値をとる関数と見なすことができ、その関数が属する空間としてボホナー空間が自然に現れるのです。

偏微分方程式への応用例

例えば、領域 `Ω ⊂ ℝⁿ` における時間区間 `[0, T]` 上の熱方程式の解析では、解 `u(t, x)` を時間 `t` の関数と見なし、その値 `u(t)` が空間変数 `x` の関数であるとします。この `u(t)` は、空間に関する適切な関数空間（例えばソボレフ空間）の要素と見なされます。

典型的な例として、熱方程式の弱解 `u` が、時間 `t` に関して二乗可積分で、各時間 `t` で空間変数 `x` について一次弱微分可能で境界条件を満たすソボレフ空間 `H₀¹(Ω)` に属するという状況を考えます。これは、解 `u` がボホナー空間 `L²([0, T]; H₀¹(Ω))` に属すると表現できます。また、その時間微分 `∂u/∂t` が、`H₀¹(Ω)` の双対空間である `H⁻¹(Ω)` に値をとる時間に関する二乗可積分関数である、すなわち `∂u/∂t ∈ L²([0, T]; H⁻¹(Ω))` と表現されることもあります。

ここで、`H₀¹(Ω)` は、弱微分が `L²(Ω)` に属し、境界上でゼロとなる関数（あるいはコンパクトな台を持つ滑らかな関数の極限）からなるソボレフ空間、`H⁻¹(Ω)` はその双対空間です。このように、ボホナー空間を用いることで、時間と空間の依存性を分離して、発展方程式を関数解析学の枠組みで効果的に解析することが可能になります。

ボホナー空間は、偏微分方程式論や確率解析学など、多くの現代数学の分野で基本的なツールとして活用されています。

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参考文献

Evans, Lawrence C. (1998). Partial differential equations. Providence, RI: American Mathematical Society.

関連項目

Lp空間
バナッハ空間
ベクトル値関数
ソボレフ空間
偏微分方程式

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