ポアソン括弧

ポアソン括弧

ポアソン括弧（ポアソンかっこ、英: Poisson Bracket）は、ハミルトン形式の解析力学において極めて重要な概念です。この用語は、フランスの物理学者シメオン・ドニ・ポアソンに由来し、彼が1809年に発表した論文の中で最初に導入されました。

定義

ハミルトニアン形式の力学では、物体の運動は一般化座標 $q = (q_1,
dots, q_n)$ と一般化運動量 $p = (p_1,
dots, p_n)$ の組によって記述されます。この正準変数 $(q, p)$ から成る相空間において、可微分な実数値関数 $f(q, p)$ と $g(q, p)$ に対するポアソン括弧は次の式で定義されます。

$$
\{f, g\} := \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial g}{\partial q_i} \frac{\partial f}{\partial p_i} \right)
$$

これを $(q, p)$ の関数として明記する場合、$\{f, g\}(q, p)$ と表記することも可能です。ベクトル表記においては、次のように表現できます。

$$
\{f, g\} = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial g}{\partial p} - \frac{\partial g}{\partial q} \frac{\partial f}{\partial p}
$$

ハミルトニアンを $H = H(q, p, t)$ とした場合、正準変数の時間発展 $(q(t), p(t))$ はハミルトンの正準方程式によって与えられます。

$$
\dot{q}_i(t) = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i(t) = -\frac{\partial H}{\partial q_i}
$$

ここでドット記号は時間 $t$ に対する微分を示します。一般に、正準方程式の解 $(q(t), p(t))$ と時間 $t$ に依存する関数 $F = F(q(t), p(t), t)$ の時間変化は次のように表現されます。

$$
\frac{d}{dt} F(q(t), p(t), t) = \frac{\partial F}{\partial t} + \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial F}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial F}{\partial p_i} \dot{p}_i \right)
$$

この結果は、ハミルトニアン $H$ とのポアソン括弧 $\{F, H\}$ と関連づけられます。

数学的性質

ポアソン括弧に関連する性質にはいくつかの重要な特徴があります。まず、その双線形性として、任意の実数 $03B$ と $03C$ に対して次のように表されます。

$$
\{\lambda f + \mu g, h\} = \lambda \{f, h\} + \mu \{g, h\}
$$

更に、ポアソン括弧は歪対称性を持ちます。

$$
\{f, g\} = -\{g, f\}
$$

これはさらに、同一関数のポアソン括弧がゼロになることを示します。

$$
\{f, f\} = 0
$$

また、ヤコビの恒等式に従って以下のように表されます。

$$
\{\{f, g\}, h\} + \{\{h, f\}, g\} + \{\{g, h\}, f\} = 0
$$

基本ポアソン括弧

特に正準変数 $q, p$ に対する基本ポアソン括弧は次のように定義されます。

$$
\{p_i, p_j\} = 0, \quad \{q_i, q_j\} = 0, \quad \{q_i, p_j\} = \delta_{ij}
$$

ここで、$\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタを示します。これらの基本ポアソン括弧を用いることで、保存量の特定や系の動力学を理解する手助けとなります。

ポアソン括弧と保存量

ポアソン括弧は物理系の保存量を特定する上一つの重要な手段です。ハミルトニアン $H$ が時間に依存しない場合、ポアソン括弧 $\{f, H\}$ がゼロであれば、$f(q(t), p(t))$ は時刻 $t$ に対して不変です。この点から、ポアソン括弧の概念を通じて、保存量を発見し、物体がどのように相空間内で振舞うかを理解することが可能となります。

シンプレクティック形式による定義

最後に、ポアソン括弧の定義は相場に依存するものですが、シンプレクティック形式を利用することで座標に依存しない新たな定義を得ることもできます。この定義によれば、ポアソン括弧は次のように表現されます。

$$
\{f, g\} = \omega(X_f, X_g)
$$

この記述を通して、ポアソン括弧がどのように利用されるか、また理論物理学のさまざまな応用について理解が深まることでしょう。

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