マクスウェル分布

マクスウェル分布：気体分子の速度と熱平衡

マクスウェル分布は、熱力学的平衡状態にある理想気体中の分子の速度分布を記述する確率密度関数です。1859年にジェームズ・クラーク・マクスウェルによって発見され、気体分子運動論の中心的な概念となっています。ボルツマン分布とも呼ばれるこの分布は、分子の速度がどのように分布しているかを統計的に示し、多くの物理化学現象の理解に不可欠な役割を果たします。

マクスウェル分布の導出

マクスウェル分布の導出は、気体分子運動論に基づいています。まず、分子の速度ベクトルをx, y, zの3成分(vx, vy, vz)に分解します。それぞれの成分は独立に正規分布に従うと仮定し、その確率密度関数は以下のようになります。

$A exp(-(mvx^2)/(2kT))$

ここで、mは分子の質量、kはボルツマン定数、Tは絶対温度、Aは規格化定数です。この式はガウス関数、つまり正規分布を表しています。

規格化条件∫f(vx)dvx = 1を用いて、Aを求めます。この積分はガウス積分の公式を用いて計算でき、A = √(m/(2πkT)) となります。

同様に、vy, vzについても同様の分布が得られ、3つの成分の独立性を仮定することで、3次元速度空間における確率密度関数は以下のようになります。

$f(vx, vy, vz) = f(vx)f(vy)f(vz)$

この式を速度の大きさvを用いて書き直すと、マクスウェル分布が得られます。速度の大きさvと速度成分vx, vy, vzの間には、v² = vx² + vy² + vz² の関係があります。速度空間における微小体積要素dvx dvy dvz を球座標に変換し、積分を行うことで、最終的に以下のマクスウェル分布の式が得られます。

$f(v)dv = 4πv²(m/(2πkT))^(3/2)exp(-mv²/(2kT))dv$

この式は、速度vの大きさを持つ分子の存在確率を表しています。

マクスウェル分布の特徴

マクスウェル分布は、温度と分子の質量に依存するベル型曲線です。

温度が高いほど: 分布は広がり、ピークは低くなります。分子の平均速度が大きくなることを意味します。
分子の質量が大きいほど: 分布は狭くなり、ピークは高くなります。分子の運動がより低速になる傾向を示します。

重要な速度指標

マクスウェル分布から、以下の3つの重要な速度指標が導出されます。

1. 最確[速度]: 分布関数の最大値を与える速度。$vmp = √(2kT/m)$
2. 平均[速度]: 速度の平均値。$v = √(8kT/(πm))$
3. 二乗平均[速度]: 速度の二乗の平均値の平方根。$vrms = √(3kT/m)$

これらの速度の比は、$vmp : v : vrms = 1 : 2/√π : √(3/2) ≈ 1 : 1.128 : 1.225$ となります。

まとめ

マクスウェル分布は、気体分子の速度分布を記述する重要な関数であり、気体分子運動論の基礎となっています。この分布は、温度と分子の質量によって変化し、そこから導かれる最確速度、平均速度、二乗平均速度は、気体の性質を理解する上で重要な指標となります。これらの理解は、熱力学、統計力学、そして様々な化学工学プロセスにおいて重要な役割を果たします。 また、マクスウェル分布は一般化ガンマ分布の一種であることも興味深い点です。 更なる研究には、非平衡状態における分子の速度分布や、現実の気体におけるマクスウェル分布からのずれなどを検討することが挙げられます。

参考文献

文部省・日本物理学会編 編『学術用語集 物理学編』（増訂版）
P. W. Atkins 著、千原秀昭・中村亘男 訳『アトキンス物理化学』
Raymond Chang 著、岩澤康裕・北川禎三・濱口宏夫 訳『化学・生命科学系のための物理化学』
卜部和夫、川泉文男、平澤政廣、松井恒雄 著『理工系学生のための化学基礎』

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