マクネマー検定

マクネマー検定

マクネマー検定（McNemar's test）は、統計学において、同じ対象者やペアから得られた二つの関連する名目データ（例えば、「はい／いいえ」のような二値の結果）の結果を比較するために使用されるノンパラメトリック検定です。特に、ある介入や時間の経過に伴う変化が、特定の方向へ偏っているかどうかを統計的に評価したい場合に適しています。この検定は、1947年にクイン・マクネマーによって提唱されました。

検定の目的と用途

この検定の主な目的は、「限界均一性」と呼ばれる性質が満たされているかを判定することです。これは、二つの測定時点（例えば、治療前と治療後、または二つの異なるテスト結果）で結果が一致しなかった対象者において、一方の結果から他方へ変化した人数と、その逆方向へ変化した人数の間に有意な差がない、という仮説を検証することに相当します。

マクネマー検定は、医学、心理学、社会科学など、様々な分野で応用されます。最も一般的な用途の一つは、医学における二つの診断テストの感度や特異度の比較です。同じ患者群に対して二つのテストを実施し、それぞれのテストが病気を正しく検出するか、あるいは病気でないかを正しく判断する能力が統計的に同等であるかを調べます。全体的な一致率が高い場合でも、特定のカテゴリーへの誤分類に偏りがないかを厳密に評価できる点が重要です。

データの準備と仮説

マクネマー検定を行うためには、まず対象者ごとの二つの測定結果を基に、以下のような2x2の分割表にデータを整理します。


ここで、セルa, b, c, dには、それぞれのカテゴリーに分類された対象者の人数が入ります。例えば、測定1を「テストA」、測定2を「テストB」、結果1を「陽性」、結果2を「陰性」とすると：

a: テストA、テストBともに陽性だった人数
b: テストAは陽性、テストBは陰性だった人数
c: テストAは陰性、テストBは陽性だった人数
d: テストA、テストBともに陰性だった人数

この検定では、結果が一致しなかった対象者（セルbとセルc）に注目します。帰無仮説（H₀）は、セルbとセルcの母集団における確率が等しい（pb = pc）というものです。つまり、結果が一致しなかったケースにおいて、一方への変化ともう一方への変化が起こる確率に差がない、という仮説です。対立仮説（H₁）は、これらの確率に差がある（pb ≠ pc）というものです。

H₀: pb = pc
H₁: pb ≠ pc

検定統計量と解釈

帰無仮説を検定するために、以下のχ²統計量（カイ二乗統計量）が計算されます。

χ² = (b - c)² / (b + c)

この統計量は、結果が一致しなかったケース（b + c）の中で、結果の変化にどの程度の偏りがあるかを示します。不一致の総数 (b + c) が十分に大きい場合、このχ²統計量は自由度1のカイ二乗分布に従います。

計算されたχ²値に対応するP値が、事前に設定した有意水準（通常0.05）より小さい場合、帰無仮説は棄却されます。これは、観測されたセルbとセルcの人数の差は偶然によるものとは考えにくく、二つの測定結果の間には統計的に有意な差、すなわち結果の変化に偏りがある（例：テストAで陽性だがテストBで陰性となる傾向が、テストAで陰性だがテストBで陽性となる傾向よりも強い、または弱い）と結論付けられます。

適用上の注意点と代替法

上記で示したχ²統計量は、不一致の総数 (b + c) がある程度大きい場合にのみ、自由度1のカイ二乗分布に適切に近似されます。不一致のケースが少ない場合には、この近似の精度が低下し、検定結果が不正確になる可能性があります。

このような場合、より信頼性の高い結果を得るために、いくつかの代替手法が用いられます。代表的なものとして、正確二項検定、連続性補正を用いたマクネマー検定、そしてmid-Pマクネマー検定などがあります。正確二項検定は二項分布を用いて確率を直接計算します。連続性補正は近似の精度を向上させます。mid-P検定はより良好な性能を持つと報告されています。

データの扱いに関する重要なポイント

マクネマー検定では、結果が変化したケース（セルbとセルc）が分析の中心です。結果が一致したケース（セルaとセルd）は計算に直接使用されませんが、全体の状況理解には重要です。不一致の総数 (b + c) が少ないと検出力が低くなる点に注意が必要です。

最も基本的な注意点は、データが正しく「対応のあるペア」として集計されているかを確認することです。例えば、ホジキンリンパ腫と扁桃腺摘出に関する研究例では、患者とその兄弟というペアでデータを収集しました。ペアリング情報が考慮されずに集計された最初の表ではマクネマー検定は適用できませんが、ペアごとの結果を組み合わせて集計した2x2表を作成すれば、変化の偏りを正しく検定できます。

関連する統計手法

マクネマー検定に関連する、あるいは拡張された統計手法には以下のようなものがあります。

二項符号検定: マクネマー検定の正確な代替手法。
コクランのQ検定: 3つ以上の関連する二値データを比較する場合の拡張。
スチュアート-マクスウェル検定: 2x2より大きい正方形の分割表の限界均一性を検定。
コクラン・マンテル・ヘンツェル検定: 複数の層にわたる2x2分割表を分析する手法。マクネマー検定はその特殊なケース。

結論

マクネマー検定は、対応のある二値名目データにおける変化の方向の偏りを検出するための、シンプルかつ強力な統計的ツールです。前後比較やペアデータの分析に広く活用されています。データの性質に応じて適切なバリエーションを選択し、ペアリング情報を正しく扱って集計することが、信頼性の高い結果を得るために不可欠です。

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