マグマの圏

マグマの圏 (Mag)

マグマの圏（Mag）は、数学の一分野である圏論において考察される特別な圏です。この圏は、特定の代数的構造を持つ対象と、その構造を保つ写像を射として構成されます。

具体的には、マグマの圏の対象は「マグマ」と呼ばれる数学的構造です。マグマとは、単に一つの集合 S と、その集合上の二項演算 ・ が定められた組 (S, ・) のことを指します。例えば、整数の集合 Z と加算 (+) の組 (Z, +) はマグマですし、実数の集合 R と乗算 (×) の組 (R, ×) もマグマです。特に結合法則や単位元の存在などは仮定しません。

マグマの圏の射は、マグマ間の「準同型写像」です。二つのマグマ (S, ・) と (T, ) が与えられたとき、写像 f: S → T が準同型であるとは、S内の任意の元 x, y に対して f(x ・ y) = f(x) f(y) が成り立つことを言います。つまり、準同型写像はマグマの持つ二項演算の構造を「保つ」写像です。

マグマの圏 Mag は、圏論における重要な構造である「直積」を持ちます。任意の二つのマグマに対し、その直積マグマが存在するということです。直積を持つ圏では、圏自身の内部で定義された構造を持つ対象、例えば「マグマ対象」のような概念を考えることが可能です。

また、マグマの圏は他の圏との関連も持ちます。例えば、集合の圏 Set からマグマの圏 Mag への包含函手が存在します。これは、任意の集合を「自明なマグマ」とみなすことで実現されます。ここでいう自明なマグマとは、集合 S に二項演算として、常に第二成分を返す射影 x ⫟ y = y を定めたものです。このような見方をすることで、集合の圏 Set はマグマの圏 Mag の部分圏として包含されると考えられます。

射の性質に関する重要な側面として、マグマの圏における単射な自己射（あるマグマから自身への単射準同型）は、ある種の極限操作（具体的には、その単射自己射を繰り返し適用して得られる列の余極限）を通じて、「マグマ拡大の自己同型射」へと拡張できるという性質が知られています。

マグマの圏 Mag は、特定の種類の「零対象」を持ちます。それは、ただ一つの要素からなる集合とその上に定義される自明な演算を持つマグマです。この零対象は、圏論的な意味での始対象であると同時に終対象でもあります。さらに、マグマの圏は「代数的」な圏であり、この性質から、点付きかつ完備であることが導かれます。完備であるとは、任意の小図式に対する極限が存在することを意味し、これは圏が豊富な構造を持つことを示唆しています。

参考文献

• - (該当箇所に具体的な参考文献名があれば記述)

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