ヤコブ・シュタイナー

スイスの傑出した数学者、ヤコブ・シュタイナー（1796年 3月18日 - 1863年 4月1日）は、生涯のほとんどを幾何学、特に純粋幾何学の研究に捧げました。彼の功績は多岐にわたりますが、特に総合幾何学の基礎を築き、解析学的手法を一切用いずに深い洞察を得たことで知られています。

生涯

ヤコブ・シュタイナーは、現在のスイス、ベルン州にあるウッツェンシュトルフ村で生を受けました。18歳になると、著名な教育者ヨハン・ハインリヒ・ペスタロッチのもとで学び、その後ハイデルベルク大学で研鑽を積みました。卒業後、プロイセンの首都ベルリンへと移り、ハイデルベルク時代と同様に個人指導を行うことで生計を立てていました。このベルリン滞在中に、数学者アウグスト・レオポルト・クレレと出会います。クレレは、シュタイナーとノルウェーの夭折の天才ニールス・アーベルの卓越した才能に触発され、ベルリンで権威ある数学雑誌『クレレ誌』を創刊することを決意しました。

1832年に代表作の一つである『Systematische Entwickelungen（体系的発展）』を発表した後、当時ケーニヒスベルク大学の教授であったカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビの推薦もあり、名誉学位を授与されました。さらに、ヤコビのほか、著名な学者兄弟アレクサンダー・フォン・フンボルトとヴィルヘルム・フォン・フンボルトの影響力によって、1834年にはベルリン大学に彼のための新たな「幾何学」の教授職が創設されました。シュタイナーは、1863年 4月1日に故郷であるベルンでその生涯を終えるまで、このベルリン大学の教授の地位に留まりました。

数学への貢献

シュタイナーの数学的研究は、例外なく幾何学に限定されていました。彼は幾何学を総合的な視点から探求し、解析的手法を徹底的に忌避しました。彼は、解析幾何学によって優れた結果が得られても、それを総合幾何学的に証明できない限り、その分野にとっての「恥」と見なすべきだとさえ語ったと伝えられています。しかし、その姿勢にもかかわらず、彼の研究は同時代の幾何学者たちの追随を許さないほど抜きん出ており、その成果は傑出した一般性、豊かな発想、そして証明の厳密さによって際立っていました。このため、古代ギリシャのペルガのアポロニウス以来、最も純粋な幾何学者であると評価されることもありました。

彼の金字塔ともいえる著書『Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander（幾何学的図形の相互依存性の体系的発展）』（1832年）は、現代的な総合幾何学の基礎を確立しました。この中で彼は射影幾何学の概念を展開し、例えば平行線も無限遠点という共通の「点」で交わると見なす視点を示しました。これにより、「二つの点が一つの直線を決定する」ことと「二つの直線が一つの点を決定する」ことの間に見られる、点と直線の対称性（射影双対性）が明確にされました。また、遠近法から出発して、射影変換が合成によってどのように生成されるかを論じ、射影によって不変に保たれる図形の集合（射影領域や図形束など）を特定しました。特に、射影的な手法を用いて円錐曲線を定義・考察した「シュタイナー円錐曲線」に関する彼の研究は有名です。

二番目の短い著作『Die geometrischen Constructionen ausgeführt mittels der geraden Linie und eines festen Kreises（直線と固定された一つの円による幾何学的作図）』（1833年、後に1895年に再版）では、ジャン＝ヴィクトル・ポンスレによって既に示唆されていたものの、与えられた直線と一つの円、そしてその中心のみを用いて、コンパスを使わずに定規だけで様々な作図が可能であることを詳細に論じました。

死後には、彼の講義録をまとめた『Vorlesungen über synthetische Geometrie（総合幾何学講義）』（1867年、1887-1898年に第3版が出版）がC. F. ガイザーとH. シュレーターによってライプツィヒで刊行されています。

その他の幾何学における notable な成果として、空間がn個の平面によって分割される際に生じる部分の最大数を求める公式の導出、有名なシュタイナーの接する円の連鎖に関する一連の定理、そして等周定理の証明（ただし、後にこの証明には不備が見つかりましたが、カール・ヴァイエルシュトラスによって修正・補完されました）が挙げられます。

シュタイナーの残りの多くの業績は、主に『クレレ誌』に掲載された論文の中に散見されます。創刊号には彼の最初の4つの論文が収められています。中でも特に重要なものとして、代数曲線や代数曲面に関する研究があります。例えば、短い論文『Allgemeine Eigenschaften algebraischer Curven（代数曲線の一般的性質）』は、その結果だけが示されており、どのように導かれたかの説明がないため、フェルマーの定理と同様に後世への謎を提供した、と数学者オットー・ヘッセは評しました。これらの定理のいくつかは著名な解析学者によって証明されましたが、論文に含まれる全ての代数曲線に関する結果が完全に理解され証明されるには、イタリアの数学者ルイージ・クレモナの登場を待たねばなりませんでした。

最大値・最小値に関する研究もまた、シュタイナーの重要な貢献分野です。彼は単純な基本原理から出発し、当時の解析学、特に変分法の能力を遥かに超えるような問題を幾何学的に解決に導きました。この関連では、垂足曲線や輪転曲線、特にその面積の様々な性質を含む論文『Vom Krümmungsschwerpuncte ebener Curven（平面曲線の曲率中心について）』が挙げられます。

組合せ数学においても、シュタイナーは小さながらも重要な貢献を果たしています。1853年に『クレレ誌』に発表されたわずか2ページの論文は、今日「シュタイナーシステム」として知られる基本的なタイプのブロックデザインの先駆けとなりました。

シュタイナーの初期の論文や原稿（1823年から1826年にかけてのもの）は、彼の崇拝者であったフリッツ・ビュッツベルガーによって、ベルン自然科学者協会の要望に応じて後に公表されています。

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