ラム–ディッケ領域

ラム–ディッケ領域とラム–ディッケ限界

イオントラップ実験において、ラム–ディッケ領域（Lamb-Dicke regime）およびラム–ディッケ限界（Lamb-Dicke limit）は、イオンの内部状態（キュービット状態）と運動状態との間の結合が十分に小さい領域とその限界を指します。この領域では、外部光場によって誘起されるイオンの内部状態と運動状態のカップリングが弱く、運動量子数が大きく変化するような遷移が抑制されます。

ラム–ディッケ条件の定量的表現

ラム–ディッケ条件は、以下の不等式で定量的に表されます。


η²(2n + 1) ≪ 1


ここで、η はラム–ディッケパラメータ、n はイオンの調和振動子状態の運動量子数です。

ラム–ディッケパラメータとラム–ディッケ領域の関係

イオントラップ内のイオンの運動は、平衡位置付近では調和ポテンシャルで近似できます。このとき、イオンの運動は固有状態 |n⟩ を持つ量子調和振動子として記述できます。位置演算子 ˆz は次のように与えられます。


ˆz = z₀(â + â†)


ここで、


z₀ = (⟨0|ˆz²|0⟩)^(1/2) = (ħ / 2mωz)^(1/2)


z₀ は零点波動関数の広がり、ωz は z-軸方向の調和トラップポテンシャルの振動数、â, ↠は調和振動子の生成消滅演算子です。ラム–ディッケ領域は、以下の条件に対応します。


⟨Ψmotion|kz²ˆz²|Ψmotion⟩^(1/2) ≪ 1


ここで、|Ψmotion⟩ はイオンの波動関数の運動成分、kz = k · ẑ = |k|cosθ = 2π/λcosθ はイオンに作用する光場の波数ベクトルの z-方向の射影です。ラム–ディッケパラメータは、次のように定義されます。


η = kzz₀

反跳エネルギーとラム–ディッケパラメータ

運動量 ħkz を持つ光子の吸収・放出に伴い、イオンの運動エネルギーは反跳エネルギー ER = ħωR だけ変化します。ここで、反跳周波数 ωR は次のように定義されます。


ωR = ħkz² / 2m


ラム–ディッケパラメータの二乗は、以下の関係式を満たします。


η² = kz²z₀² = (ħkz²) / (2mωz) = ωR / ωz = ER / ΔE


ここで、ΔE は調和振動子のエネルギー量子です。したがって、ラム–ディッケパラメータ η は、イオンの内部状態と運動状態との間のカップリングの強さを定量化する指標となります。η が 1 よりも非常に小さい場合、調和振動子の量子化された状態間の間隔は反跳エネルギーよりも大きく、イオンの運動状態を変化させるような遷移は無視できます。

数学的背景

イオントラップ実験では、レーザー場を用いてイオンの内部状態と運動状態を結合させます。イオンが光子を吸収・放出する際の力学的反跳は、演算子 exp(ikzz) で表されます。これらの演算子は、原子の運動量を ±ħkz だけ変化させます（+ は吸収、− は放出）。調和振動子の固有状態 {|n⟩}n∈No を基底として、|n⟩ → |n′⟩ の遷移確率は、フランク–コンドン係数で与えられます。


Fn→n′ = ⟨n′|exp(ikzz)|n⟩ = ⟨n′|exp(iη(â + â†))|n⟩


ラム–ディッケ領域の条件が満たされている場合、テイラー展開が可能となり、


exp(iη(â + â†)) = 1 + iη(â + â†) + O(η²)


運動量子数 n が 1 よりも大きく変化する遷移が強く抑制されることがわかります。

ラム–ディッケ領域の意味

ラム–ディッケ領域では、自発的崩壊は主にキュービットの内部遷移の周波数（キャリア周波数）で起こり、イオンの運動状態はほとんど影響を受けません。この条件は、分解サイドバンド冷却が効率的に働くために必要です。また、ラム–ディッケ領域に到達することは、イオンのコヒーレント操作を実行する際に利用される多くの方式において必要となります。したがって、これらの手法で量子もつれを起こすためのイオンの上限温度が、これによって決まります。

イオンへのレーザーパルスによる操作中は、イオンをレーザー冷却できません。そのため、量子もつれを起こさせる操作が終わるまでラム–ディッケ領域から外れないように、事前に冷却しておく必要があります。

関連項目

レーザー冷却
分解サイドバンド冷却

もう一度検索