ランベルトの余弦則

ランベルトの余弦則：拡散反射面における光の輝度と角度の関係

ランベルトの余弦則は、光学において重要な法則です。理想的な拡散反射面、つまりランベルト面では、放射強度（または光度）は、入射光と面の法線（面に垂直な線）との間の角度θの余弦に正比例します。これは、余弦放射則、またはランベルトの放射則とも呼ばれ、1760年にヨハン・ハインリヒ・ランベルトが発表した『フォトメトリア』に由来しています。

ランベルト面は、観測角度に関わらず同じ輝度で光を放射する特殊な性質を持っています。私たちの目には、ランベルト面はどの角度から見ても同じ明るさに見えます。この理由は、角度によって放射される輝度は減少するものの、観測者から見た面の面積（投影面積）も同様に減少するためです。結果として、放射輝度（単位面積・単位立体角あたりの放射出力）が一定に保たれます。別の解釈としては、固定された立体角を持つセンサーは、角度が浅くなるにつれてより広い面積の光源を捉えますが、単位面積あたりの放射輝度は小さくなるため、全体として放射輝度は一定となるのです。

ランベルト面における拡散と放射

ランベルト面は、入射光に対しても同様の拡散特性を示します。外部光源からの照射を受けたランベルト面では、放射照度（単位時間・単位面積あたりのエネルギー）は、面の法線と入射光の角度の余弦に比例します。これは、放射は法線から光源への角度に依存するが、法線から観測者への角度には依存しないことを意味します。

月の表面を例に考えてみましょう。もし月がランベルト面だとすると、太陽からの入射角が大きくなる明暗境界線付近でも明るさが大きく減少するはずです。しかし実際はそうではありません。これは、月が完全なランベルト面ではないことを示しています。一般的に、ランベルト面と比べて、斜めの角度からの入射光はより拡散されます。

また、ランベルト面からの放射は入射光の総量に依存せず、放射体自身の性質に依存します。太陽をランベルト面と仮定すると、太陽面全体で均一な明るさになるはずです。しかし、実際には周辺減光が見られるため、太陽も完全なランベルト面ではありません。黒体はランベルト面に近い放射体の一例です。

輝度が等量となる現象の詳細

ランベルト面からの放射を、光子を用いて説明しましょう。ランベルト面では、単位立体角あたり、単位時間あたりに放出される光子数は一定です。角度θの方向に放出される光子数は、cos(θ) に比例して減少しますが、観測者から見た投影面積もcos(θ) に比例して減少するため、結果として輝度は一定になります。

数学的には、法線方向の輝度I0は、角度θ方向の輝度Iを用いて、以下の式で表されます。

I0 = I dΩ dA / (dΩ0 dA0)

ここで、dΩとdAはそれぞれ単位立体角と単位面積、dΩ0とdA0は観測点から見た立体角と面積です。角度θの方向から観測した場合、dΩ0はcos(θ)倍になりますが、Iもcos(θ)倍になるため、I0は変化しません。

照度、光束のピーク値との関連

ランベルト面では、発光強度の分布は法線方向のピーク値Imaxと余弦則によって定義されます。全光束Ftotは、以下の積分で表されます。

Ftot = ∫∫ cos(θ) Imax sin(θ) dφ dθ = π sr Imax

ここで、sin(θ) は単位球面上の面積要素、srはステラジアンです。ピーク強度が1/(π sr)の放射束であるランベルト面では、π srという要素が輝度と放射照度、放射強度と放射束を結びつけます。

例えば、輝度が100 cd/m2のランベルト面では、放射強度は約314 lm/m2となります。面積が0.1 m2であれば、光束は約31.4 lmとなります。

利用例

ランベルトの余弦則、あるいはランベルト反射は、様々な分野で応用されています。例えば、成形加工において、素材や顔料を変えることなく、明暗の縞模様を生成物上に形成するために利用されます。この明暗のコントラストは、製品の見栄えを向上させる効果があります。

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