放射強度

放射強度とは

放射強度（radiant intensity）は、点状の放射源から特定の方向へ単位時間あたりに放射される放射エネルギーを表す物理量です。これは、放射束を放射源から見た立体角で微分することで得られ、単位はワット毎ステラジアン（W sr⁻¹）で表されます。

放射強度の特徴

放射強度は、放射源から放射されるエネルギーの方向による分布を示す量であり、方向によって値が変化します。例えば、アンテナから放射される電波の強度は、アンテナの形状や方向によって大きく異なり、特定の角度で放射強度が最大になることがあります。

放射強度は、放射源がその広がりに対して十分に遠方にあり、点状とみなせる場合に特に有用です。例えば、星などの天体は非常に遠くにあるため、点状の放射源として扱えます。一方、放射源の広がりを考慮する必要がある場合は、放射輝度という別の物理量を使用します。

定義

放射強度 \(I\) は、放射源から見て位置 \(r\) にある微小面積 \(\Delta \Sigma\) を貫く放射束 \(\Phi(\Delta \Sigma)\) を、その微小面積が放射源の周りに張る立体角 \(\omega(\Delta \Sigma)\) で割ったものとして定義されます。

\begin{equation}
I = \frac{d\Phi}{d\omega}
\end{equation}

ここで、放射源と被照射面の間での吸収や散乱によるエネルギーの減衰は無視できるものとします。

他の測光量との関係

点状の放射源から放射される放射束 \(\Phi(\Sigma)\) は、放射強度 \(I\) を用いて、曲面 \(\Sigma\) 全体で積分することで求められます。

\begin{equation}
\Phi(\Sigma) = \int_{\Sigma} I d\omega
\end{equation}

また、放射照度 \(E\) は、放射束 \(\Phi\) を曲面 \(\Sigma\) で微分することで得られます。

\begin{equation}
E = \frac{d\Phi}{d\Sigma}
\end{equation}

微小断面積 \(d\Sigma\) の法線ベクトルを \(\mathbf{n}\) とすると、入射角 \(\theta\) は以下の式で表されます。

\begin{equation}
\cos{\theta} = \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{|\mathbf{n}||\mathbf{r}|}
\end{equation}

広がりを持つ放射源の場合

広がりを持つ放射源の場合、放射源の表面上の点からある方向 \(\mathbf{r}\) への放射輝度 \(L\) を考慮する必要があります。放射源の広がりが \(\mathbf{r}\) に比べて十分に小さい場合、放射強度は放射源の表面積 \(\Delta S\) での積分によって求められます。

\begin{equation}
I = \int_{\Delta S} L \cos{\theta} dS
\end{equation}

ここで、微小表面積 \(dS\) の法線ベクトルを \(\mathbf{n}\) とすると、方向余弦 \(\cos{\theta}\) は以下のようになります。

\begin{equation}
\cos{\theta} = \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{|\mathbf{n}||\mathbf{r}|}
\end{equation}

放射源の広がりが十分に小さいという条件から、方向余弦の変化は無視されます。特に、放射輝度が方向に依存しない場合、放射強度は次のようになります。

\begin{equation}
I = L \Delta S \cos{\theta}
\end{equation}

この関係は、ランベルトの余弦則として知られています。

まとめ

放射強度は、点状の放射源から特定の方向に放射されるエネルギーを評価するための重要な物理量です。方向依存性や放射源の形状を考慮する必要がある場合に特に有用であり、天体観測やアンテナ設計など様々な分野で活用されています。

参考文献

• - 宮本健郎『光学入門』岩波書店、1995年。ISBN 4-00-005377-9。

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