リウヴィルの定理 (解析学)

リウヴィルの定理：有界な整関数は定数関数である

複素解析において、リウヴィルの定理は、そのシンプルさと重要性において際立っています。この定理は、複素平面全体で定義され、正則（微分可能）である関数（整関数）が、さらに有界であるならば、その関数は定数関数でなければならないと主張します。

より厳密に述べると、有界な整関数は定数関数に限る、というものです。ここで、「有界」とは、関数の絶対値が、ある実数Mを超えないことを意味します。つまり、どんな複素数zに対しても|f(z)| ≤ Mとなるような実数Mが存在するということです。

定理の証明

リウヴィルの定理の証明には、コーシーの積分公式が重要な役割を果たします。証明の流れは以下の通りです。

1. テイラー展開: 整関数f(z)は、複素平面上の任意の点でテイラー展開できます。原点を中心とした展開は次のようになります。

f(z) = Σ_{n=0}^∞ a_n z^n

ここで、a_nはf(z)のn次導関数の係数です。

2. コーシーの積分公式: コーシーの積分公式を用いて、係数a_nを積分形で表すことができます。

a_n = (1/(2πi)) ∮_{C_r} f(ζ) / ζ^(n+1) dζ

ここで、C_rは原点を中心とする半径rの円です。

3. 絶対値の評価: 積分の絶対値を評価することで、係数a_nの絶対値の上限を見積もることができます。f(z)が有界であるという仮定（|f(z)| ≤ M）を用いると、以下の不等式が得られます。

|a_n| ≤ M/r^n

4. 半径rを無限大に: n≥1の場合、半径rを無限大に近づけると、|a_n|は0に収束します。つまり、a_n = 0 (n≥1)となります。

5. 定数関数: 上記の結果から、テイラー展開はa_0のみとなり、f(z) = a_0という定数関数になることが分かります。

リウヴィルの定理の応用例

リウヴィルの定理は、一見シンプルな定理ですが、その応用範囲は広く、複素解析における様々な重要な定理の証明に用いられています。以下にその応用例をいくつか示します。

代数学の基本定理の証明: 代数学の基本定理は、任意の次数nの複素係数多項式は、複素数の範囲でn個の根を持つというものです。この定理の証明にリウヴィルの定理を用いることができます。多項式が根を持たないと仮定すると、その逆関数は有界な整関数となり、リウヴィルの定理に矛盾します。

スペクトル集合の性質: 複素バナッハ空間における有界線形作用素のスペクトル集合が空でないことを証明する際にも、リウヴィルの定理が用いられます。

* 楕円関数論: 楕円関数の性質の研究にもリウヴィルの定理は重要な役割を果たします。

まとめ

リウヴィルの定理は、一見単純な定理に見えますが、その背後には複素解析の深い理論が隠されています。その証明は、コーシーの積分公式などの重要な定理を巧みに用いており、数学的な美しさを感じさせます。さらに、この定理は、代数学の基本定理やスペクトル論など、様々な分野で重要な役割を果たしており、複素解析における中心的な定理の一つと言えます。

もう一度検索