リウヴィル数

リウヴィル数：驚くほど有理数に近い超越数

リウヴィル数とは、実数の中でも特別な性質を持つ数です。その定義は一見複雑ですが、要約すると、どれだけ大きな正整数nを選んでも、その数に非常に近い有理数を見つけることができるということです。

定義:
実数αがリウヴィル数であるとは、任意の正整数nに対して、次の不等式

0 < |α - p/q| < 1/qⁿ

を満たす有理数p/q (q > 1) が少なくとも一つ存在することをいいます。ここで、pとqは整数です。

この定義から、リウヴィル数は有理数列によって「非常に近く」近似できることがわかります。この近似の精度は、いかなる代数的無理数よりも優れているのです。言い換えれば、リウヴィル数は有理数に驚くほど近い超越数なのです。

例：リウヴィルの定数

リウヴィル数の代表例として、次のような級数で表される数が挙げられます。

ｌ = Σ(k=1 to ∞) 10^(-k!) = 0.11000100000000000001...

この数はリウヴィルの定数と呼ばれ、1が小数点以下、自然数の階乗の桁数に現れることが特徴です(1! = 1桁目、2! = 2桁目、3! = 6桁目…など)。リウヴィルは1844年に、この数が超越数であることを証明しました。これは、超越数が存在することを初めて数学的に示した重要な成果です。

リウヴィル数の性質

リウヴィル数は以下の重要な性質を持ちます。

超越数である: リウヴィルの定理により、全てのリウヴィル数は超越数です。超越数とは、いかなる整数係数の多項方程式の解にもならない数のことです。
マーラーの分類でU数に属する: リウヴィル数は、マーラーの分類という超越数の分類において、U数という特別な種類に属します。
集合の性質: 0でない任意の実数は、2つのリウヴィル数の和や積として表すことができます。リウヴィル数全体の集合は非可算集合であり、実数の中で稠密です。しかし、その1次元ルベーグ測度は0です。このことから、ほとんど全ての超越数はリウヴィル数ではないことがわかります。

リウヴィル数ではない超越数

リウヴィル数でない超越数も数多く存在します。例えば、

自然対数の底'>[ネイピア数] e
円周率 π
チャンパーノウン定数 0.123456789101112...

などが挙げられます。

リウヴィル数と測度

測度論の観点から見ると、リウヴィル数の集合は非常に小さいと言えます。そのルベーグ測度は0なのです。これは、実数直線上での「大きさ」を表す尺度であり、測度が0であるということは、直感的には「ほとんど存在しない」ことを意味します。一方、全ての超越数の集合のルベーグ測度は無限大です。

リウヴィル数全体の集合の構造

リウヴィル数全体の集合は、稠密なGδ集合という位相的な性質を持ちます。これは、開集合の可算個の共通部分として表せる稠密な集合であることを意味します。

リウヴィル数の無理性と超越性

リウヴィル数の定義から、それが無理数であることは容易に証明できます。また、代数的数の性質を調べることで、リウヴィル数が超越数であることも証明できます。しかし、全ての超越数がリウヴィル数であるわけではありません。

結論

リウヴィル数は、有理数で非常に精密に近似できるにもかかわらず、超越数であるという興味深い性質を持つ数です。その集合は測度論的な意味で小さいですが、実数の中で稠密に存在し、数論や解析学における重要な研究対象となっています。

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