リー・トロッター積公式

リーの積公式

リーの積公式とは、数学、特に線型代数や作用素論の分野で重要な役割を果たす定理です。これは、ノルウェーの数学者ソフス・リーにちなんで名付けられました。この公式は、任意の実数または複素数を成分とする正方行列AとBに対して、次の関係が成り立つことを主張します。

$\qquad e^{A+B} = \lim_{n\to\infty} (e^{A/n} e^{B/n})^n$

ここで、$e^M$は行列$M$の行列指数関数を表します。行列指数関数は、スカラーの指数関数$e^x$の定義を拡張したものであり、無限級数として定義されます。

$\qquad e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} A^k$

ただし、$A^0$は単位行列を意味します。上記の極限は、行列のノルムに関する収束として理解されます。

スカラーの場合、$e^{x+y} = e^x e^y$という単純な関係が成り立ちますが、行列の場合、一般には$e^{A+B} = e^A e^B$は成立しません。この等式が成り立つのは、行列AとBが可換である（つまり、$AB=BA$となる）場合に限られます。リーの積公式の意義は、AとBが可換でなくても、$e^{A+B}$を行列$e^{A/n}$と$e^{B/n}$の積の繰り返し（そして極限操作）によって計算できる点にあります。

この公式は、より一般的な線形作用素にも拡張されます。H. F. トロッターによるリー・トロッターの積公式や、加藤敏夫によるトロッター・加藤の定理は、ヒルベルト空間上の非有界な作用素に対しても同様の関係が成り立つことを示しています。

公式の証明は、行列指数関数の性質と、テイラー展開に基づいた近似を利用して行われます。例えば、$e^A e^B$が$e^{A+B}$に高次の誤差項を加えたものであるという関係を用いることで、$(e^{A/n} e^{B/n})^n$が$n\to\infty$の極限で$e^{A+B}$に近づくことを示すことができます。

リーの積公式は、理論物理学、特に量子力学において重要な応用があります。量子系の時間発展を記述するシュレーディンガー方程式の解、すなわち時間発展作用素は、ハミルトニアンという作用素の指数関数として与えられます。ハミルトニアンが運動エネルギーとポテンシャルエネルギーに対応する作用素の和である場合、この公式を用いることで、時間発展作用素を運動エネルギー部分とポテンシャルエネルギー部分に対応する作用素の積の極限として表現することが可能になり、経路積分の定式化などに役立てられています。

また、常微分方程式や偏微分方程式の数値計算においても、「分割法（スプリッティングメソッド）」と呼ばれる手法でこの公式が応用されます。複雑な微分作用素を計算しやすい複数の作用素の和に分解し、それぞれに対応する計算を交互に行うことで、全体の時間発展を近似計算する際に利用されます。このように、リーの積公式は純粋数学だけでなく、物理学や数値解析といった幅広い分野でその有用性が示されています。

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