レイリー分布

レイリー分布（Rayleigh distribution）

概要

レイリー分布は、統計学における連続型の確率分布の一つです。特に、互いに独立な正規分布に従う二つの確率変数（例えば、直交する二つの成分の観測誤差など）の二乗和の平方根が従う分布として現れることがあります。この分布は、物理学や工学の分野、例えば無線通信における電波の強度分布や、風速の分布などをモデル化する際に応用されます。その名称は、19世紀から20世紀にかけて活躍したイギリスの著名な物理学者、第3代レイリー男爵ジョン・ウィリアム・ストラット（John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh）に由来しています。

定義と特性

レイリー分布は、非負の実数 $x$ ($x \ge 0$) を確率変数の定義域とします。この分布の特性は、ただ一つのパラメータである尺度パラメータ $\sigma$ ($ \sigma > 0 $) によって決定されます。確率変数 $X$ がパラメータ $\sigma$ のレイリー分布に従うとき、その確率密度関数 $f(x; \sigma)$ は次の式で与えられます。

$f(x; \sigma) = \frac{x}{\sigma^2} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right) \quad \text{for } x \ge 0$

ここで、$\exp(y)$ は自然対数の底 $e$ を用いた $e^y$ を表します。この関数は、$x=0$ で値が0となり、$x > 0$ の範囲で増加して最大値をとった後、指数関数的に減少していく形状を持ちます。

レイリー分布に従う確率変数の重要な統計量、すなわち期待値と分散は、パラメータ $\sigma$ を用いて以下のように表されます。

期待値 (Mean): $E[X] = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}$
分散 (Variance): $Var(X) = \left(2 - \frac{\pi}{2}\right)\sigma^2$

期待値はおよそ $1.253 \sigma$、分散はおよそ $0.429 \sigma^2$ となります。これらの値からもわかるように、期待値および分散はパラメータ $\sigma$ に直接依存し、$\sigma$ が大きくなるにつれて分布はより広がり、確率の山は右に移動します。

パラメータの推定

もし、レイリー分布に従う未知のパラメータ $\sigma$ を持つ母集団から、$n$ 個の観測値 $X_1, X_2, \dots, X_n$ が得られた場合、統計的な手法を用いてパラメータ $\sigma$ を推定することができます。その代表的な方法の一つに最尤推定法があります。観測値に基づいてパラメータ $\sigma$ の尤度関数を最大にするように推定値 $\hat{\sigma}$ を求めると、その最尤推定値は次の式で計算されます。

$\hat{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2}$

この式は、観測値の二乗の算術平均のさらに半分を取り、その平方根を計算することによってパラメータ $\sigma$ の推定値が得られることを示しています。

関連情報

レイリー分布は、確率分布の広い分野の一部を形成しています。特にワイブル分布は、レイリー分布を特殊なケースとして含むより一般的な分布であり、信頼性工学や故障時間分析などで広く利用されます。

参考文献

レイリー分布に関するより詳細な情報や応用例については、以下の参考文献などが参照されます。

蓑谷千凰彦 著, 『統計分布ハンドブック』, 朝倉書店 (2003)
B. S. Everitt 著（清水良一 訳）, 『統計科学辞典』, 朝倉書店 (2002)

外部リンク

オンラインの情報源としては、朱鷺の杜WikiやGSL reference manual Japanese versionなどにもレイリー分布に関する記述があります。

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