ワッサースタイン計量

ワッサースタイン計量

ワッサースタイン計量（英: Wasserstein metric）は、特定の距離空間における確率分布間の距離を定義する数理的概念です。この計量は、確率分布を空間に堆積した土の単位と考えた際に、一つの堆積物を別のものに移すために必要な最小限の費用として直感的に理解することができます。このコストは、移動させる土の量と、その距離によって決まります。特に、計算機科学の分野では、アースムーバー距離としても知られています。

定義

距離空間を(M, d)とした場合、この空間上の確率測度がラドン測度であると相互に、有限p次モーメントを持つすべての確率測度をPp(M)として表します。ここでpは1以上の値です。この条件下で、確率測度μとνの間のワッサースタイン距離W_p(μ, ν)は、次のように定義されます：

$$
W_p(μ, ν) := igg( ext{inf}_{γ ext{ in } Γ(μ, ν)} igg( \\ \\ \\ \\ \\ \\int_{M × M} d(x, y)^p dγ(x, y) igg) \bigg)^{1/p}
$$

ここで、Γ(μ, ν)は、確率分布μとνの周辺を持つすべての測度の接続を表します。この距離は通常、Wpと記述されます。

この計量には同値な定義もあります。すなわち、以下のように表されます：

$$
W_p(μ, ν)^p = ext{inf} ext{E}[d(X, Y)^p].
$$

この式では、E[Z]は確率変数Zの期待値を指し、下限はそれぞれ周辺分布μとνを持つ確率変数XとYのすべての結合分布に基づいて計算されます。

応用

ワッサースタイン計量は、確率論や様々な応用分野で活用されています。具体的には、異なる変数が小さな摂動によって影響を受ける場合、二つの確率分布を比較するのに自然なツールとして機能します。計算機科学の分野では、例えば二つのデジタル画像の色ヒストグラムを比較する際に、W_1が広く利用されています。 詳細についてはアースムーバー距離の解説も参照してください。

性質

ワッサースタイン距離W_pは、Pp(M)の距離の公理を満たしていることが示されています。特に、距離W_pに基づく収束は、通常の測度における弱収束と低次のモーメント収束を加えた現象と同様であることが確認されています。

また、W_1の双対表現は、カントロヴィチとルビンスタインによる双対定理の特別なケースであると言えます。有界な台を持つ確率分布μとνに対し、以下の関係が成り立ちます：

$$
W_1(μ, ν) = ext{sup} \Bigg\{ \int_M f(x) d(μ - ν)(x) \Bigg| f:M \to ℝ \text{ is continuous, } \text{Lip}(f) ≤ 1 \Bigg\}.
$$

The above properties show that under suitable conditions, there exists a robust connection between these different metrics, which can facilitate various mathematical and practical applications.

可分性と完備性

任意のp ≥ 1に対し、(P_p(M), W_p)の計量空間が可分かつ完備であるための十分条件は、元の[距離空間]が可分および完備であることです。これによりW_pに関する多くの性質が理解しやすくなります。

まとめ

ワッサースタイン計量は、確率論における基礎的な概念を深く掘り下げて学ぶための重要な鍵を提供します。数学、計算機科学、経済学など、さまざまな分野において、この計量の理解は、理論的発展だけでなく実用的なアプリケーションにも寄与します。

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