ヴォイタ予想

ヴォイタ予想 (Vojta's Conjecture) について

ヴォイタ予想は、数学のディオファントス近似に関する重要な予想であり、ポール・ヴォイタによって提唱されました。この予想は、代数体における代数多様体の点の高さ（highness）に関連しており、多くの数論や代数幾何の問題を統一的に考察するための基盤を提供しています。特に、ディオファントス近似や複素解析におけるネヴァンリンナ理論（値分布論）との類似性が予想の根幹を成しています。

ヴォイタ予想の基本的な内容

この予想は、以下のように定義されます。まず、数体を F とし、その上に非特異な代数多様体 X を考えます。次に、X 上に悪くとも正規交叉を持つ有効な因子 D 及び、豊富な因子 H を選びます。また、X の標準因子 K_X を考えることも重要です。

ここで、ヴェイユの高さ函数 h_H と h_{K_X} を用いて、F 上の各絶対値 v に対して局所的な高さ函数 λ_{D,v} を定義します。さらに、F の絶対値 S の有限集合が固定され、0 より大きい小さな数 ε が与えられます。

すると、次のような条件を満たす定数 C と空でないザリスキー開集合 U ⊆ X が存在します。すべての P ∈ U(F) に対して、以下の不等式が成り立ちます。

$$
\sum_{v \in S} \lambda_{D,v}(P) + h_{K_X}(P) \leq \epsilon h_H(P) + C
$$

この不等式が何を意味するかというと、代数多様体の点 P に着目した場合、その高さが特定の条件を満たすことが示されます。

実例

例 1

代数多様体がプロジェクト空間 P^N である場合を考えましょう。この場合、標準因子 K_X は式 K_X ∼ −(N + 1)H に従います。ヴォイタ予想より、全ての P ∈ U(F) に対して、

$$
\sum_{v \in S} \lambda_{D,v}(P) \leq (N + 1 + \epsilon) h_H(P) + C
$$

が成立することがわかります。

例 2

次に、K3曲面やカラビ・ヤウ多様体のように標準バンドルが自明である場合を考えます。この場合、D を以下のような因子としておくと、アフィン多様体 X \\\ D 上の S-整な点はザリスキー稠密ではないことが予測されます。

例 3

一般型の多様体において、標準因子 K_X がある空でないザリスキー開集合で豊富であるとき、S を空集合とすると、ヴォイタ予想は、X(F) がザリスキー稠密でないことを予測することになります。この命題は、ボンビエリ・ラング予想とも関連しています。

一般化

ヴォイタ予想にはさらなる一般化も存在します。特に、P が X(F̄) 上で変化する場合の一般化では、体の拡大 F(P)/F に対して判別式に依存しない項が加わります。また、非アルキメデス的な局所的高さ λ_{D,v} を用いることができ、これによって多重度を無視することが可能になります。

さらに、これに基づく高次元の ABC 予想の類似が示唆されており、ヴォイタ予想は数学の様々な領域において新たな知見をもたらす可能性を秘めています。

参考文献

この予想に関する更なる知見は、ポール・ヴォイタの著作「Diophantine approximations and value distribution theory」に見ることができます。

もう一度検索