一様空間

一様空間とは

一様空間（uniform space）は、集合に「一様構造」という特別な構造が付与された数学的な空間です。この一様構造は、通常の位相空間が持つ「収束」や「点の近く」といった概念に加えて、「ある点が別の点にどれくらい近いか」という「近さ」の概念を捉えることを可能にします。ただし、この「近さ」は擬距離空間のように具体的な数値で測られるのではなく、近縁と呼ばれる特定の集合に属するかどうかで判断される、より抽象的なものです。

一様構造は、位相構造よりも強く、擬距離構造よりも弱い中間的な強さを持つ構造です。これにより、位相空間だけでは定義が難しい、あるいは一様的な性質が捉えにくい様々な概念を定義できるようになります。例えば、コーシー列、空間の完備性、関数の一様連続性、一様有界性、そして全有界性といった、解析学において非常に重要な概念が一様空間上で自然に定式化されます。

擬距離空間はもちろんのこと、位相群（特に位相ベクトル空間）のような重要な空間にも自然な一様構造が定まることが知られており、この概念は関数解析学などで広く活用されています。

一様構造の定義

一様空間は、集合 `X` とその上に定められた一様構造の組として定義されます。一様構造は、`X × X` の部分集合の族 `𝓤` として与えられます。この `𝓤` の各元は「近縁（entourage）」と呼ばれ、直感的には `(x, y)` が近縁 `U` に属するとき、点 `x` と `y` が「Uに入る程度に十分近い」ことを意味します。

近縁の族 `𝓤` は、一様構造としての性質を満たすためにいくつかの公理を満たす必要があります。これらの公理は、反射律（自分自身は常に近い）、対称律（xがyに近ければyもxに近い）、三角不等式のような性質（xがyに近くyがzに近ければxはzに近い）などを抽象的に表現したものです。

例えば、擬距離空間 `(X, d)` においては、任意の正の実数 `ε` に対して、距離が `ε` 未満であるような点対 `(x, y)` の集合 `Uε = {(x, y) ∈ X×X : d(x, y) < ε}` を考えます。この `Uε` を含むような `X×X` の部分集合を近縁とみなすことで、擬距離空間は自然な一様空間とみなすことができます。

一様構造の公理のうち一部のみを満たす構造として、前一様構造や準一様構造といった一般化された概念も存在します。

一様構造と位相空間

任意の一様構造は、その構造から自然に定まる位相構造を持ちます。これは、距離空間から距離位相が定まるのと同様の考え方です。近傍系を近縁を用いて定義することで、位相空間としての性質が得られます。

逆に、与えられた位相空間が一様構造を持ち、かつその一様構造がもとの位相と一致する、つまり「一様化可能」であるための条件も知られています。これは、位相空間が「完全正則」であることと同値になります。完全正則性は、任意の閉集合とそれを共有しない点に対し、その点では1、閉集合上では0となるような連続関数が存在する、という分離公理の一つです。

一様空間上では、関数の一様連続性を定義することができます。これは、ドメイン空間の近さがレンジ空間の近さに一様に（場所によらず同じように）対応する、という概念です。擬距離空間における一様連続性の定義は、この一様空間における定義の特別な場合にあたります。

具体例

一様構造の具体例としては、以下のようなものがあります。

1. 擬距離の集合から定まる一様構造: 1つまたは複数の擬距離が与えられた集合には、そこから自然に一様構造を定めることができます。驚くべきことに、任意の一様構造は、必ず何らかの擬距離の集合から定まることが証明されています。この性質は一様空間論において非常に重要です。
2. 位相群から定まる一様構造: 位相群、特に位相ベクトル空間のような代数構造と位相構造を併せ持つ空間には、群演算と両立する自然な一様構造（左一様構造、右一様構造）が存在します。これは、群の並進作用を利用して近さを定義するものです。
3. 密着一様構造と離散一様構造: これらは位相空間における密着位相、離散位相に対応する一様構造です。密着一様構造では、異なる点同士も「近い」とみなされ得る範囲が最も広く、離散一様構造では自分自身以外の点は全く近くないとみなされます。

完備性と完備化

一様空間では、コーシー列の概念を一般化したコーシーネットやコーシーフィルターを定義できます。これにより、一様空間の「完備性」を定義することが可能になります。完備な空間とは、任意のコーシーネット（またはコーシーフィルター）がその空間内で収束する空間のことです。擬距離空間と同様に、任意の一様空間に対して、それを含む最小の完備一様空間である完備化が一意的に（ハウスドルフ分離性を仮定すれば）存在します。

その他の概念

一様空間の理論からは、関数空間上の一様構造や、写像の一様収束といった概念が派生します。集合 `X` から一様空間 `Y` への写像全体の空間には、一様収束、各点収束、コンパクト収束に対応する異なる一様構造を定義することが可能です。これらの構造は、関数列の収束性質を調べる上で重要です。

また、距離空間におけるコンパクト性と「全有界かつ完備」が同値であるように、一様空間でも全有界性という概念が定義され、完備性と合わせて空間のコンパクト性を特徴づけることができます。

歴史

一様空間の概念は、距離空間に付随するものとして扱われていた完備性や一様連続性といった概念を、より一般的な空間で扱うために導入されました。アンドレ・ヴェイユが1937年に初めて明示的な定義を与え、その後ブルバキが近縁を用いた定義を普及させ、ジョン・テューキーが被覆を用いた同値な定義を与えました。また、擬距離の族を用いた一様空間の特徴づけもヴェイユによって研究されています。

一様空間は、解析学の基礎をより抽象的かつ一般的に議論するための強力な枠組みを提供しています。

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