一次分数変換

一次分数変換

数学の分野において、特に複素解析で用いられる一次分数変換（いちじぶんすうへんかん、英: linear fractional transformation）は、複素数体 C 上の射影直線 P(C) に対する射影変換であるメビウス変換と本質的に同じものです。

より広い数学的な文脈では、この複素数体 C を一般の環 A に置き換えて考えることができます。この場合、一次分数変換は環 A 上の射影直線 P(A) における射影変換として定義されます。

環 A が可換である場合、一次分数変換は馴染み深い以下の形式で表現できます。

$$z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}, \quad (z, a, b, c, d \in A)$$

ここで、分母の `cz + d` が環 A の単元（乗法に関する可逆元）である場合や、適切に射影直線の無限遠点を定義した場合にこの形の変換が意味を持ちます。

環 A が非可換である場合は、分数の形で一意に記述するのが難しくなるため、射影空間上の点 `(z, w)` の斉次座標表示を用いるのがより自然です。この観点では、一次分数変換は点 `(z, w)` を `(az+bw, cz+dw)` へ移す変換と考えることができます。射影空間の斉次座標では、非零のスカラー倍 `(kz, kw)` は `(z, w)` と同一視されるという同値関係が成り立ちます。この同値性に従えば、`cz + d` が単元であるような場合には、`cz+dw` が単元 `cz+d` になる `w=1` の点で、` (az+b, cz+d) ` という座標は `((cz+d)^{-1}(az+b), 1)` という形に変換できることがわかります。

一次分数変換の等角性

一次分数変換の持つ重要な幾何学的性質の一つに、等角性（conformal property）があります。これは、変換が任意の点の近傍における微小な角度を保存するという性質です。言い換えれば、交わる二つの曲線のなす角度が、変換後の曲線がなす角度と同じになるという性質です。

一次分数変換は、いくつかの基本的な変換の合成によって得られることが知られています。具体的には、以下の三種類の変換です。

1. 平行移動： `z ↦ z + b` の形
2. 相似変換： `z ↦ az` の形
3. 反転： `z ↦ 1/z` の形

これらの基本的な変換がそれぞれ等角変換であることを示すことで、それらの合成である一次分数変換全体も等角であることが証明できます。

平行移動 `z ↦ z + b` は、単に複素平面上の点を一定のベクトルだけずらす操作です。これは図形の形状や方向性を一切変えないため、もちろん角度も保存します。

相似変換 `z ↦ az` について考えます。ここで `a` は非零の複素数とします。複素数の積は、二つの複素数の絶対値を掛け合わせ、偏角を足し合わせるという操作に対応します。つまり、`z` の偏角を `arg(z)`、`a` の偏角を `arg(a)` とすると、変換後の点 `az` の偏角は `arg(a) + arg(z)` となります。これは `z` の偏角に定数 `arg(a)` を加える変換であり、平面上の全ての点に対して同じだけ回転と拡大縮小を行うため、角度を保存します。
この考え方は、通常の複素数だけでなく、分解型複素数や二重数といった他の種類の二元数環にも拡張できます。これらの環では、虚軸上で定義される指数関数（例えば `exp(yi) = cos y + i sin y`、`exp(yj) = cosh y + j sinh y`、`exp(yε) = 1 + yε`）が、それぞれの環における「角度」（円角、双曲角、抛物角）と回転に対応する役割を果たします。相似変換 `z ↦ az` は、これらの環上でも角度成分に関する加算に対応するため、等角性を持ちます。

反転 `z ↦ 1/z` について考えます。これも複素数平面上で等角変換となります。複素数の極形式で考えると、`z = r exp(iθ)` に対して `1/z = (1/r) exp(-iθ)` となります。これは絶対値を逆数にし、偏角の符号を反転させる操作です。角度の符号が変わるものの、角度の大きさ自体は保存されます。この性質も、前述の各種二元数環における指数関数の性質 `exp(yX) ↦ exp(-yX)` に対応しており、一般の二元数環上でも反転が等角変換であることが示されます。

これらの基本的な等角変換を組み合わせることで構成される一次分数変換は、その性質を受け継ぎ、全体として等角変換となるのです。

一次分数変換は、その定義の一般性や等角性といった重要な性質から、複素解析における写像論、非ユークリッド幾何学（双曲幾何学など）、そして抽象代数学における射影線型群の研究など、数学の様々な分野で基礎的な役割を果たしています。

関連項目

射影線型群

出典・参考文献

（省略）

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