メビウス変換

メビウス変換：複素平面の幾何学と群論の融合

メビウス変換は、複素数平面上の幾何学変換であり、数学と物理学の様々な分野で重要な役割を果たしています。本記事では、メビウス変換の定義から、その性質、分類、そして応用までを詳細に解説します。

1. 定義と基本性質

メビウス変換は、一般的に次のような式で表される複素一変数 z に関する有理関数です。

math
f(z) = \frac{az + b}{cz + d}


ここで、a, b, c, d は複素定数で、ad - bc ≠ 0 を満たします。この条件は変換が定数関数にならないことを保証します。

メビウス変換は次の重要な性質を持っています。

等角性: 角度を保つ変換です。
円円対応: 任意の直線または円を直線または円に写像します。直線は無限遠点を通り半径無限大の円とみなせます。
対称性: 円に関して対称な2点は、変換後も円に関して対称な2点に写像されます。

これらの性質により、メビウス変換は複素平面上の幾何学的構造を保ちながら変形する強力なツールとなります。

2. リーマン[[球面]]とメビウス群

メビウス変換は、無限遠点を付け加えた拡張複素平面(リーマン[[球面]])上での変換として理解すると便利です。リーマン[[球面]]は、複素射影直線 CP¹ とも同一視できます。

メビウス変換全体の集合は、変換の合成を演算として、メビウス群を形成します。メビウス群は、リーマン[[球面]]上の自己同型群であり、Aut(Ĉ) と表記されます。これは、双曲的三次元空間の向きを保つ等距変換群と同型であり、双曲[[幾何学]]においても重要な役割を果たします。

3. 物理学への応用

物理学では、メビウス群がローレンツ群の単位成分と密接に関連しています。ローレンツ群は、特殊相対論における時空変換群であり、メビウス変換は相対論的効果を記述する際に有用です。

例えば、高速で移動する観測者から見た星の配置は、地球上での見え方から微小なメビウス変換によって連続的に変化したように見えます。これはツイスター理論の基礎となる考え方のひとつです。

4. メビウス変換の分類

恒等変換でないメビウス変換は、不動点の個数と特性定数に基づいて、以下の4つのタイプに分類されます。

抛物型: 拡張複素平面上に唯一つの不動点を持つ。
楕円型: 二つの不動点を持ち、特性定数の絶対値が1。回転のような変換。
双曲型: 二つの不動点を持ち、特性定数が正の実数。拡大縮小のような変換。
斜航型: 二つの不動点を持ち、特性定数の絶対値が1でない。回転と拡大縮小の合成のような変換。

これらの分類は、変換行列のトレースを用いて代数的に判定できます。

5. 不動点と正規形

メビウス変換は、一般的にリーマン[[球面]]上にある2つの不動点を持っています。抛物型変換の場合は、不動点が重なっていると考えます。不動点は、変換の式から得られる二次方程式を解くことで求めることができます。

メビウス変換は、不動点と特性定数を使用して正規形という簡潔な表現で表すことができます。

6. 複比の不変性

メビウス変換は、4点の複比を不変に保ちます。複比とは、4点 z1, z2, z3, z4 に対して定義される値

math
\frac{(z_1 - z_3)(z_2 - z_4)}{(z_2 - z_3)(z_1 - z_4)}


であり、メビウス変換によってこれらの点を w1, w2, w3, w4* に写像しても複比の値は変化しません。この性質は、メビウス変換の幾何学的性質を理解する上で非常に役立ちます。

7. 行列表示と群論

メビウス変換は、2×2の複素正則行列を用いて表現できます。行列の積は、メビウス変換の合成に対応します。この表現を用いると、メビウス群の群論的な性質を調べることが容易になります。特に、メビウス群は一般射影線型群 PGL(2, C) に同型であることが示せます。

8. その他の応用と関連概念

メビウス変換は、複素解析、リーマン面の理論、フラクタル幾何学など、様々な分野に応用されています。また、モジュラー群、フックス群などの重要な離散部分群もメビウス群の中に存在します。

9. まとめ

メビウス変換は、複素平面の幾何学と群論を結びつける重要な概念です。その等角性、円円対応、複比の不変性などの性質は、幾何学的変換として非常に強力であり、数学と物理学の様々な分野に広範な応用を持っています。本記事ではその基礎的な性質から応用までを概観しました。より詳細な理解には、複素解析や群論の知識が必要となります。

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