三線極線

三線極線（さんせんきょくせん、英:trilinear polar）は、ユークリッド幾何学における三角形と点に関連して定まる、特定の直線を指す用語です。この概念は、19世紀のフランスの数学者ジャン＝ヴィクトル・ポンスレによって、1865年に初めて提唱されました。

定義

ある三角形ABCと、その内部または外部にある点Pが与えられたとき、点Pに対する三線極線は以下のように定義されます。まず、点Pと三角形の各頂点A, B, Cを結ぶ直線AP, BP, CPを考えます。これらの直線が、それぞれ対辺であるBC, CA, ABと交わる点を順にD, E, Fとします。次に、辺BCと直線EF、辺CAと直線FD、辺ABと直線DEの交点をそれぞれX, Y, Zとします。デザルグの定理として知られる幾何学の重要な定理により、これらの三点X, Y, Zは常に同一直線上にあることが保証されます。この直線XYZが、点Pに対応する三線極線と呼ばれるものです。

三線極点

三線極線とは逆に、特定の直線Lが与えられたときに、その直線がどの点の三線極線となっているかを考えることができます。この、直線Lに対応する点のことを、直線Lの三線極点（または単に三線極）と呼びます。三線極点もまた、直線Lから幾何学的に構成することが可能です。直線Lが三角形ABCの辺BC, CA, ABと交わる点をそれぞれX, Y, Zとします。そして、直線BYとCZの交点をU、直線CZとAXの交点をV、直線AXとBYの交点をWとします。このとき、三角形ABCと三角形UVWは互いに配景的（perspetive）な位置関係にあり、その配景の中心となる点が、与えられた直線Lの三線極点Pに他なりません。

三線座標による表現

点Pの三線座標を (p : q : r) とすると、点Pの三線極線は三線座標 (x : y : z) に関して、以下の一次方程式で表されます。

$${rac {x}{p}}+{rac {y}{q}}+{rac {z}{r}}=0.$$

この式は、三線極線が点Pの三線座標の逆数を用いてシンプルに記述できることを示しています。

有名な例

特定の有名な三角形の中心点に対しては、対応する三線極線もまた特別な直線となります。

三角形の重心の三線極線は、無限遠直線です。
三角形の類似重心の三線極線は、ルモワーヌ軸として知られています。
* 三角形の垂心の三線極線は、垂軸と呼ばれています。

ただし、三角形の頂点そのものに対しては、対応する三線極線は通常定義されません。

特定の点を通る三線極点の軌跡

点Pの三線座標を (X : Y : Z) とし、その三線極線が特定の点 K (x0 : y0 : z0) を通る場合を考えます。点Pの三線極線の方程式は上記の式で与えられるため、点Kがこの直線上にあるという条件は次のように書けます。

$${rac {x_{0}}{X}}+{rac {y_{0}}{Y}}+{rac {z_{0}}{Z}}=0.$$

興味深いことに、この条件を満たすような点P (X : Y : Z) の軌跡は、三線座標 (x : y : z) に関して以下の二次方程式で表される曲線となります。

$${rac {x_{0}}{x}}+{rac {y_{0}}{y}}+{rac {z_{0}}{z}}=0.$$

この方程式が示す曲線は、常に元の三角形ABCの3つの頂点を通る円錐曲線であり、外接円錐曲線と呼ばれます。この外接円錐曲線をEとすると、三角形ABCとその円錐曲線Eに関する極三角形は、点Kを中心として配景的な位置関係にあります。例えば、外接円（これは点Kが類似重心の場合に対応します）上の任意の点に対する三線極線は、必ず類似重心を通ることが知られています。

関連する概念

三線極線に関連する幾何学的な概念として、セントラルライン (Central lines)、三角形の中心、極と極線、直極点などがあります。

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