直極点

直極点（Orthopole）

幾何学における直極点とは、一つの三角形と一つの直線に対して定義される特別な点です。具体的には、△ABCと直線lを考えます。まず、三角形の各頂点A、B、Cから直線lへ垂線を下ろし、直線lとの交点をそれぞれA'、B'、C'とします。

次に、これらの垂線の足A'、B'、C'から、元の三角形△ABCの対辺BC、CA、ABへそれぞれ改めて垂線を引きます。驚くべき幾何学的性質として、これら3本の垂線は必ず一点で交わることが証明されています。この交点が、直線lに対する三角形△ABCの直極点と呼ばれます。

性質

直極点は数多くの興味深い性質を持っています。例えば、直線lが平面内を平行に移動する場合、それに対応する直極点も直線lと一定の距離を保ちながら移動し、元の直線lに垂直な方向の直線を描きます。また、もし直線lが三角形のいずれかの辺（例えばBC）と一致する場合、その直極点は三角形の垂心に一致します。さらに、垂心を通る任意の直線lについて、その直極点を直線lに関して鏡映した点は、必ず三角形の九点円上に位置するという性質も知られています。

四角形ABCDに関連する性質として、4つの頂点のうち3点を選んで作られる四つの三角形それぞれについて、共通の直線lに対する直極点を求めると、これら四つの直極点は必ず同一直線上に並びます。この直線を Orthopolar Line と呼びます。

完全四辺形（4本の直線が一般の位置にあるときに作られる図形）と直線lについても同様の性質があります。構成する4本の直線のうち3本を選んで作られる四つの三角形に対する直線lの直極点は共線です。さらに、これらの直極点からlに下ろした垂線の足から、残りの1本の直線へ下ろした垂線は一点で交わります。この交点を、この完全四辺形に対するlの直極点と定義することもあります。

他の概念との関係

シムソン線

直極点はシムソン線と深い関係があります。ある点Pに関するシムソン線の直極点は、そのシムソン線自体の上にあり、元のシムソン線に垂直なシムソン線上に位置します。また、三角形の外心を通る直線lと、外接円の二つの交点それぞれに対するシムソン線を考えたとき、これらの二本のシムソン線の交点は、直線lの直極点であり、同時に九点円上にあることが知られています。

円錐曲線

平面上の固定された点Pを通るように直線を動かすとき、それぞれの直線に対する直極点の描く軌跡は円錐曲線となります。多くの場合、この軌跡は楕円となり、三角形のシュタイナーデルトイドと呼ばれる図形に接する性質を持ちます。点Pが三角形の外接円上にある特別な場合、軌跡は楕円ではなく線分に退化します。また、点Pが外心に一致するときは、軌跡は九点円となります。

ルモワーヌの定理

直極点に関する重要な結果の一つに、1904年にティモレオン・ルモワーヌによって証明された定理があります。この定理は、直極点Hを持つ直線l上の任意の点Pを取り出したとき、点Pの垂足円（Pから三角形の辺に下ろした垂線の足を通る円）に対する直極点Hの方べきの値が、常に一定であることを示しています。この定理は、グリフィスの定理や第二フォントネーの定理を含む多くの重要な結果の基礎となり、さらにエイヤールの定理へと一般化されています。

一般化

直極点の概念は様々な形で一般化されています。一つには、垂線を用いる代わりに、直線lと特定の角度（有向角θ）をなすように点を定義し、そこから三角形の辺に対して別の特定の角度（有向角π - θ）をなすように直線を引いて交点を考える斜極点（Isopole）があります。これは角度θ=π/2の場合に直極点と一致します。また、頂点から直線lに下ろした垂線を一定の比で内分する点から辺に下ろした垂線が共点になるという性質も知られており、この比を0:1とした場合に直極点が得られます。

直極円

直線lに対して定義される関連概念として直極円（orthopolar circle）があります。これは、頂点からlに下ろした垂線の足A'、B'、C'と、三角形の辺BC、CA、ABの中点D、E、Fを用いて定義されます。Dを中心としB'、C'を通る円、Eを中心としC'、A'を通る円、Fを中心としA'、B'を通る円、これら三つの円の根円が直線lの直極円です。この直極円の中心は、直線lの直極点に一致します。ただし、lが三角形の外心を通る場合は、直極円は一点に退化します。

完全四辺形を構成する四つの三角形それぞれに対する直線lの直極円は、全て同一の根軸を持つ（共軸である）という定理も成り立ちます。

関連する概念

直極点の研究は、パップスの六角形定理、シムソンの定理、極と極線、三線極線など、他の多くの幾何学的概念とも関連が深いです。

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