六進法

六進法とは

六進法（ろくしんほう）とは、6を底（てい）とする位取り記数法のことです。普段私たちが使っている十進法が10を底とするのに対し、六進法では6を基準に数を表現します。英語ではsenary、ドイツ語ではSechsersystemと呼ばれています。このsenaryはラテン語の「六個一組」を意味するsenariusに由来します。

六進法の表記

六進法で数を表す際は、通常のアラビア数字を十進数として扱い、六進数の表記は括弧と下付きの6で示します。例えば、六進法における「10」は、十進法での「6」を表します。同様に、「11」は「7」、「12」は「8」を意味します。基本的には0, 1, 2, 3, 4, 5の6個の数字を使用します。

十進法との比較

六進法と十進法は、ともに2と素数の積で構成されているため、2の冪数の扱いが共通しています。しかし、六進法では「5+1=10」および「2×3=10」となるため、3と5の役割が十進法とは逆転します。また、2と3の冪指数が同じであることから、2の冪数と3の冪数が同等に扱われる点も特徴的です。

3と5の逆転

• - 六進法では、3の倍数は一の位が3か0になります。一の位が3ならば3の倍数であり、素数にはなりません。
• - 11（七）以降の素数は、一の位が1か5になります。
• - 十進法で1/5が0.2ですが、六進法では1/3が0.2になります。
• - 六進法では、2の冪数の逆数は3の冪数となり、3の冪数の逆数は2の冪数になります。
• - 「3×5」は十進法では15で5の倍数ですが、六進法では23で3の倍数になります。
• - 3×5/100の小数は、十進法では0.15、六進法では0.23となります。既約分数が十進法では3/20ですが、六進法では5/26となります。

9と5の逆転

• - 六進法では、5の倍数は各位の数の和が5の倍数になります。
• - 3の冪数は一の位も3になります。
• - 100のm/4となる整数はすべて9の倍数、100のm/9となる整数はすべて4の倍数です。
• - 十進法の乗算表は81種類ですが、六進法では16の倍数が81種類になります。
• - 81の倍数のうち奇数は、下四桁が特定の値になります。

倍数判定法

六進法では、2と3の倍数が簡単に判別でき、5の倍数も判定可能です。十進法では5n×3と5n×3^2が判定できますが、六進法では3nや3n×5が判定可能です。また、2nと2n×5の倍数は、十進法では5n種類ですが、六進法では3n種類になります。

基本的な倍数判定

• - 【2】2：一の位が2か4か0
• - 【3】3：一の位が3か0
• - 【2^2】4：下二桁が特定の9パターン
• - 【5】5：各位の数字の和が5の倍数
• - 【2×3】10（6）：一の位が0
• - 【3^2】13（9）：下二桁が特定の4パターン
• - 【2×5】14（10）：各位の数字和が5の倍数、かつ一の位が2か4か0
• - 【3×5】23（15）：各位の数字和が5の倍数、かつ一の位が3か0
• - 【2^2×3^2】100（36）：下二桁が00

その他の主要な数

• - 【11】11（7）：二桁ゾロ目、または二桁ゾロ目に0が続く
• - 【23】12（8）：下三桁が12の倍数
• - 【2^2×3】20（12）：下二桁が特定の3パターン
• - 【2^4】24（16）：下四桁が24の倍数
• - 【2×3^2】30（18）：下二桁が30か00
• - 【2^2×5】32（20）：各位の数字和が5の倍数、かつ下二桁が特定の9パターン
• - 【2^3×3】40（24）：一の位が0、かつ整数第三位〜第二位が特定の9パターン
• - 【5^2】41（25）：一の位以外から一の位の4倍を引き、その差が0か41の倍数
• - 【3^3】43（27）：下三桁が特定の8パターン
• - 【2×3×5】50（30）：各位の数字和が5の倍数、かつ一の位が0
• - 【2^3×5】104（40）：各位の数字和が5の倍数、かつ下三桁が12の倍数
• - 【2^2×3×5】140（60）：各位の数字和が5の倍数、かつ下二桁が特定の3パターン
• - 【3^4】213（81）：下四桁が213の倍数
• - 【2^2×5^2】244（100）：一の位以外から一の位の4倍を引き、その差が0か41の倍数、かつ下二桁が4の倍数

小数と除算

六進法では、「5+1=10」と「2×3=10」であるため、2と3の演算が容易です。小数の位取りは、0.1が六分の一、0.01が三十六分の一、0.001が二百十六分の一となります。

整数の除算

六進法の除算では、100や1000などの桁上がりの冪数も三分割が可能で、10の冪指数と同じ2と3の冪数で割り切れます。例えば、1000は2^3と3^3の両方で割り切れます。

例：

• - 100 ÷ 3 = 20
• - 1000 ÷ 3 = 200
• - 10000 ÷ 3 = 2000

小数を含む除算

二分割と三分割

六進法では、十の冪数も2の冪数も三分割できます。十進法では1/3が割り切れませんが、六進法では1/3が0.2と表せます。

四分割と九分割

六進法で「100分率」を作ると「三十六分率」になり、十進法の1/3の数量で「m/4」と「m/9」を同じ桁数で実行できます。

八分割と二十七分割

十進数ではm/27が割り切れませんが、六進数ではm/27が割り切れて8の倍数になります。また、m/8の小数も、十進数では125の倍数ですが、六進数では27の倍数になります。従って、六進数では、8で割ると被除数の27倍の数が現れ、27で割ると被除数の8倍の数が現れます。六進法は六分割で一桁下がるため、3の冪数で分ける方法が便利です。

2と3の冪指数が4以上

六進法は2と3の冪指数が同じであるため、十六分割（2^4）と同じく八十一分割（3^4）も容易です。

小数表

分数を六進法の小数に変換すると、1/2と1/3が小数第一位、1/4と1/9が小数第二位、1/8と1/27が小数第三位となります。つまり、2-nと3-nがそのまま「小数第n位」になります。ただし、1/5だけは割り切れず、循環節が1桁になります。

基本的な分数

• - 1/2 = 0.3
• - 1/3 = 0.2
• - 2/3 = 0.4

小数第二位

• - 1/4 = 0.13
• - 3/4 = 0.43
• - 1/9 = 0.04
• - 2/9 = 0.12
• - 4/9 = 0.24
• - 5/9 = 0.32
• - 7/9 = 0.44
• - 8/9 = 0.52

単位分数と無理数

六進法では、一桁の整数のうち、単位分数にすると割り切れない数は5だけです。6は2と3で割り切れる最小の数なので、3の累乗数である9や27でも循環小数にならずに割り切れます。また、十進法と六進法に共通する特徴として、割り切れない小数に37の倍数が現れます。

命数法

六進命数法は、6を底とする命数法で、0から5までを一つの名詞として命名します。6の倍数は「2×6」「3×6」のように命名し、6の冪数で新しい数詞が付けられます。

数詞

自然言語で六進命数法を持つものは少ないですが、ニューギニア島のンドム語が知られています。ンドム語では、6をmer、12をmer an thef、18をtondor、36をnif、72をnif thefと表現します。他に、ングコルンプ語、ヤム語、コムンゾ語も六進法を使用しており、6の倍数や冪数に個別の数詞が付けられています。これらの言語で6が底になったのは、「もう片手は桁上がりで6の位」とする指数えが由来とされています。

語彙

六が底になった由来には、前述の指数えの他に、空間の基本的な方角が六つであること（上下・左右・前後）も挙げられます。日本語には、「六合」「六方」「三十六景」「三十六峰」「三十六策」「六歌仙」「三十六歌仙」「四六時中」など、六進法に基づく語彙や名数が存在します。これらは、十進法が「十指の二乗で百」であるのに対し、六進法は「六面の二乗で三十六」という発想に基づいています。

単位系

六進法は、まれに単位系で使われることがあります。尺貫法では、1間は6尺です。

指数え

拳を0とすれば、片手で0から5までの6種類の数字を表せます。六進法の指数えでは、片手（主に右手）を一の位、もう片手（主に左手）を六の位として、最大35まで数えられます。これにより、整数だけでなく、小数や仮分数も表現できます。

計算例

• - 1. 2 × 3 = 4
• - 12 × 3 = 40
• - 100 ÷ 13 = 4
• - 1 ÷ 13 = 0.04
• - 32 ÷ 2 = 14

まとめ

六進法は、日常生活ではあまり馴染みがありませんが、数学や計算機科学の分野では重要な役割を果たしています。特に、2と3の演算が容易である点、除算において桁上がりの冪数が三分割可能である点、そして、小数や仮分数も表現できる指数えの方法は、六進法ならではの特徴です。

脚注

※ 素因数分解は六進表記。

関連項目

• - 二進法
• - 三進法
• - 十二進法
• - 二十四進法
• - 三十六進法

外部リンク

• - 2015/03/15/senary-sensation/'>Senary Sensation
• - seximal.net
• - Math is fun.com 十進小数⇔六進小数の換算
• - 4u9Xg0Uo5gA'>六進指数え

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