不変測度

不変測度とは

不変測度とは、数学の不変測度論において、ある変換の下で変わらない性質を持つ測度を指します。具体的には、可測空間
(X, Σ) 上に定義された可測変換 f に対して、測度 μ が f-不変であるとは、任意の可測集合 A に対し、前像に対する測度が等しいことを意味します。これは次の式で表されます。

$$
orall A ext{ in } ar { ext{set}} o ar{μ}(f^{-1}(A)) = μ(A)
$$

この関係を基に、エルゴード測度やその性質が探求されます。

エルゴード理論と不変測度

エルゴード理論は、力学系における不変測度の研究を中心に展開されています。具体的には、クリロフ＝ボゴリューボフの定理により、適切な条件下において不変測度が存在することが示されています。この理論は、物理学や確率論における力学系の性質について理解を深めるための重要な役割を果たしています。

不変測度の定義

測度 μ が T-不変であるのは、T に含まれる全ての可測変換 f に対して μ が f-不変であるときです。また、X 上の全ての f-不変測度の集合は Mf(X) と表され、エルゴード測度の集合はその部分集合 Ef(X)となります。このように、複数の可測変換の下で不変な測度についての研究が進められています。

力学系における不変測度

力学系 (X, T, φ) では、変換の一次元族 φ = {φt} に関して不変測度の概念が拡張されます。モノイド T による時刻の変化に対しても、不変測度が考慮され、以下の関係が成り立ちます。

$$
μ(φ_t^{-1}(A)) = μ(A) ext{ for all } t ext{ in } T, A ext{ in } ar{ ext{set}}
$$

この条件を満たすことで、可測変換や確率的な状況下においても不変性が表現されます。

不変測度の具体例

不変測度の具体例として、実数直線 R における平行移動変換が挙げられます。各 a ∈ R により定義される平行移動変換は、一次元ルベーグ測度 λ が不変であることを示します。これを一般に n 次元のユークリッド空間に拡張すると、n 次元ルベーグ測度 λn は、等長変換に対しても不変です。

$$
T(x) = Ax + b ext{ ここで } A ext{ は直交行列, } b ext{ は R}^{n} ext{ のベクトル}
$$

このように、ルベーグ測度は様々な変換に対して不変であることが確認できます。

一意性とその他の測度の特性

一次元ルベーグ測度は自明な操作を除いて一意的に決まりますが、一般的にはそのような一意性は保証されません。例として、集合 S = {A, B} に対する恒等写像 T = idS では、任意の確率測度が応じて不変であることが示されます。加えて、円の角度測度やユークリッド平面における面積も、特定の変換に対して不変であることが知られています。

結論

不変測度は、数学的な視点から見ると非常に重要であり、多くの応用が存在します。特に、確率論や物理学の力学系において、エルゴード理論と絡めて考察されることが多いです。今後も不変測度を通じて新たな理解が進むことが期待されます。

もう一度検索