不等号

不等号とは

不等号は、数値や順序集合の要素間の大小関係を示すために用いられる数学記号です。具体的には、ある値が別の値より大きいか、小さいか、または等しいかどうかを表現します。等号（=）が二つの値が等しいことを示すのに対し、不等号は二つの値が異なる場合に、その大小関係を明確にします。

基本的な不等号

単純な不等号

`A < B`：AはBより小さいことを示します。
`A > B`：AはBより大きいことを示します。

これらの記号は、17世紀にトーマス・ハリオットによって初めて使用されました。日本語では、文部科学省の指導により「AはBより小さい」「AはBより大きい」と読みますが、長い不等式では「A小なりB」「A大なりB」と読むこともあります。プログラミングでは、それぞれ「LT (less than)」「GT (greater than)」と呼ぶことがあります。

使用例

`2 < 3` （2は3より小さい／2小なり3）
`3 > 2` （3は2より大きい／3大なり2）

等号付き不等号

`A ≦ B` (または `A ≤ B`, `A ⩽ B`)：AはBより小さいか等しいことを示します。
`A ≧ B` (または `A ≥ B`, `A ⩾ B`)：AはBより大きいか等しいことを示します。

記号「≦」は18世紀にピエール・ブーゲによって導入されました。初等教育では、まず「<」と「>」を学びますが、数学一般では「≦」を先に定義し、「<」を「A ≦ B かつ A ≠ B」と定義することがあります。日本では「≦」「≧」を使い、欧米では「≤」「≥」や「⩽」「⩾」を使うことが多いです。読み方は、「AはB以下」「AはB以上」が一般的ですが、「A小なりイコールB」「A大なりイコールB」とも呼ばれます。プログラミングでは、「LE (less than or equal to)」「GE (greater than or equal to)」と呼ぶことがあります。

使用例

`0 ≦ a²`（0はa²以下／0小なりイコールa²）
`a² ≧ 0`（a²は0以上／a²大なりイコール0）

発展的な用法

`a < b` と `b > a`、`a ≦ b` と `b ≧ a` はそれぞれ同じ意味を表します。
3辺の不等式 `a < b < c` は、「a < b かつ b < c」を意味し、推移律により `a < c` も同時に表します。同様に、4辺以上の不等式や「≦」と等号が混ざった不等式も同様に解釈されます。
ただし、「<」「≦」と「>」「≧」が混在することは、推移律が成り立たなくなるため、実用的ではありません。

区間

3辺の不等式は、変数の範囲を示すためによく使われます。

`a < x < b` は `x ∈ (a, b)` と等価（aより大きくbより小さい）
`a ≦ x < b` は `x ∈ [a, b)` と等価（a以上bより小さい）
`a < x ≦ b` は `x ∈ (a, b]` と等価（aより大きくb以下）
`a ≦ x ≦ b` は `x ∈ [a, b]` と等価（a以上b以下）

派生記号

複号

複号同順を示す場合、「≶」「≷」「⪋」「⪌」「≦」「≧」「⪙」「⪚」または「≶」「≷」「⋚」「⋛」「≤」「≥」「⋜」「⋝」が使われます。「≦」「≧」「≤」「≥」は、以上、以下と紛らわしいので、「複号同順」などの注釈が必要です。複数の式で複号同順を表す不等号が使われ、それぞれの上下部分が成り立つ場合に用います。

使用例

`a ≶ b ≶ c` は、(a < b < c) または (a > b > c) の意味です。
`a ≶ b` ならば、`x + a ≶ x + b` （a < b ならば x + a < x + b、a > b ならば x + a > x + b）
`a ⋚ b` ならば、`x + a ⋚ x + b` （a < b ならば x + a < x + b, a = b ならば x + a = x + b, a > b ならば x + a > x + b）
`a² = 4` で `a ≷ 0` ならば `a = ± 2`（a² = 4 で a > 0 ならば a = 2、a² = 4 で a < 0 ならば a = -2）

非常に大きい/小さい

比が非常に大きいことを示すために、「≪」と「≫」が使われます。原則として、非負の場合に使用し、近似計算を行う際の説明として用いられます。例えば、「10⁻¹⁰ ≪ 0.1 < 1 < 10 ≪ 10¹⁰」のように使われます。

大きい/小さいかほぼ等しい

「≲」「⪅」「⪍」は「小さいかほぼ等しい」、「≳」「⪆」「⪎」は「大きいかほぼ等しい」を意味します。これらは近似計算で使われます。例えば、`a ≈ 0` で `b > 0` ならば `a + b ⪆ 0` となります。

数学以外の用法

コンピュータ

コンピュータの分野では、不等号は「LT (less than)」「GT (greater than)」と呼ばれることがあります。

多くの言語で、不等号は `<` と `>` で表されます。
等号付き不等号は `<=` と `>=` で表されます。
プログラミング言語では、不等式は二値集合への関数として定義されます。
Pythonを除き、`a < b < c` のような構文はエラーになるか、`(a < b) < c` と解釈され、意図した結果が得られない場合があります。LISPでは `(< a b c)` で期待通りになります。
否定等号はPascal, SQLでは `<>`、C言語やPythonでは `!=` で表されます。
PerlやRubyでは、`<=>` は左辺と右辺の大小関係を数値で返す演算子です。

また、不等号は以下のような様々な用途にも用いられます。

ASCII環境で、山括弧（‹…› や〈…〉）や矢印（← →）の代わり
C言語などで、ビットシフト演算子（`<<` `>>`）
C++で、ストリーム入出力演算子やテンプレート引数
C言語などで、メンバ演算子 `->`
UnixやMS-DOSで、リダイレクト `>` `<` `>>`
Perlで、プロセスユーザID `$<` やプロセス実行ユーザID `$>`
Perlなどで、連想配列のキーと値を区切る `=>`
XMLやHTMLで、タグ `<要素名>`
多くのコマンドインタプリタで、プロンプト `>`
チャットで、発言者のハンドルと`>`を付ける。
メールや電子掲示板で、引用符 `>`
チャットや掲示板で、特定の人への発言を示す `>` `>>`
漫画で、発言者を示す `＜`
ロジックパズル「不等号」
多くのプログラミング言語で、ヒアドキュメント `<<`

その他

日本語の文章で、山括弧（＜ ＞）として用いられることがあります。
HTMLでは、文字実体参照として < (<) と > (>) 、 &le; (≤) と &ge; (≥) があります。

符号位置

不等号には、Unicodeで様々な符号位置が定義されています。


この記事では、不等号の様々な種類と用法について解説しました。不等号は数学だけでなく、コンピュータや日常的なコミュニケーションでも幅広く活用されています。

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