安定分布

安定分布

安定分布（あんていぶんぷ、英: stable distribution）は、確率論と統計の分野で重要な概念であり、特に重い尾を持つ分布を扱う際に頻繁に現れます。この分布は、正規分布やコーシー分布を含む、より広い範囲の分布を指します。安定分布の特徴として、次の性質を持つ確率変数の和は、特定の線形変換を通じて元の分布となる点が挙げられます。具体的には、独立した確率変数の組み合わせに関連したプロパティが強調されます。

定義

退化分布を除くすべての確率分布で、以下の条件が満たされる場合、その分布は安定分布と見なされます。考慮する確率変数 X_1 と X_2 が独立な複製であるとし、定数 a と b を用いて、式 aX_1 + bX_2 が他の定数 c と d を含む確率変数 X によって表されるとき、このXが安定であると言います。また、dがゼロの場合、この分布は厳密に安定とされます。

確率密度関数

安定分布の確率密度関数は、一般的に解析的には表すことができませんが、特性関数 ψ(t) を利用することで次のように表現されます。特定の数値計算や解析的な研究において、特性関数を用いて数値積分が可能になります。

特性関数

分布の特性関数 ψ(z) は、4つのパラメータ、α, β, γ, δ を用いて次の式で表されます。これらのパラメータは、分布の性質を決定する重要な要素です。具体的には、αは特性指数と呼ばれ、分布の裾の厚みを評価します。小さい値を持つことほど、裾が広がることを意味します。 βは分布の対称性を示し、δは位置のシフトを、γ はスケールの調整を示します。

- 特性関数: φ(z) = exp[iδz - γ |z|^α {1 + iβ sgn(z) ω(z, α)} ]
- 特性指数: 0 < α ≤ 2
- 歪度指数: -1 ≤ β ≤ 1
- 規模母数: γ > 0

これらのパラメータは特に重要であり、分布の特性を把握するために広く利用されています。

特別なケース

安定分布にはいくつかの特別なケースがあります。例えば、

• - 正規分布: α = 2 の場合、これは平均 δ と分散 2γ の正規分布となります。
• - Holtsmark分布: α = 3/2, β = 0 の場合、確率密度関数を一般超幾何関数を用いて記述できます。
• - コーシー分布: α = 1, β = 0 の場合は中央値が δ、尺度が γ のコーシー分布です。
• - レヴィ分布: α = 0.5, β = 1 の場合、特異な形状を持つ分布となります。

一般化中心極限定理

中心極限定理では、独立に同分布する確率変数の算術平均の分布が、数が増えるにつれて正規分布に収束することが示されています。しかし、安定分布においては、0 < α < 2 の場合、分散が無限大となり、この理論とは異なる振る舞いを示すことが分かっています。これにより、安定分布は特殊な場合として注目されています。

参考文献

• - Alder, R. J., et al. (1998). A Practical Guide to Heavy Tails: Statistical Techniques and Applications.
• - Voit, Johannes (2003). The Statistical Mechanics of Financial Markets, Springer-Verlag.
• - Nolan, John P. (2009). Stable Distributions: Models for Heavy Tailed Data.

外部リンク

安定分布に関する詳細は、John P. Nolan のホームページや、R および MATLAB の安定分布に関するパッケージ、金融市場での応用に関する情報が提供されています.

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