二面体素数

二面体素数（Dihedral prime）について



概要


二面体素数とは、7セグメントディスプレイで上下逆さまや鏡に映しても、またはその両方を行っても、素数として認識できる特別な数です。具体的には、上下反転、左右反転、またはその両方を行っても同じものであるか、異なる素数として読むことができる数を指します。具体的な例としては、以下の小さい順の数があります:


このリストはオンライン整数列大辞典の数列 A134996 から得られています。特に注目すべきは、上下反転と左右反転の両方で異なる素数を持つ最小の二面体素数である120121です。この数は、上下反転を行うと121021、左右反転を行うと151051、上下左右反転を実施すると150151に変化します。

特性


ストロボグラマティック数と同様、二面体素数の特性は選ばれるフォントによって変わることがあります。たとえば、手書きの数では、2が上下に返されると6に見える場合があります。また、米ドルの印刷フォントでは、5が左右に反転すると7に見えることもあります。

興味深いのは、ストロボグラマティック素数となる6や9を除いた数は、二面体素数になる傾向があります。さらに、レピュニット素数及び特定の回文素数もこのカテゴリに分類されますが、二面体素数が無限に存在するかどうかについては未だに解明されていません。もしレピュニット素数の無限性が証明されると、二面体素数も無限に存在することが確定します。

数字の性質


0, 1, 8の特性


数字の中で0、1、8は特に興味深いです。これらの数は、上に返しても左に反転しても形が変わらないため、どちらの操作でもそのままです（1は位置のみが変わります）。一方、2や5は上下反転すると形は変わらず、左右反転するとそれぞれ異なる数字に見えます。

3の特性


3に関しては少し複雑です。特に16進数では、3を左右に反転するとE（10進数で14）に見えるものの、Eは偶数なので3は最初の桁として適切ではありません。上下反転も同じ結果をもたらします。

6と9の特性


6と9は上下反転すると入れ替わりますが、左右反転すると有効な数字にはなりません。また、16進数でのb（10進数で11）とd（13）も似た動きをしますが、上下反転時には有効な数字ではありません。

最大の二面体素数


最大の二面体素数は、2009年にDarren Bedwellによって発見された回文素数です。この数は驚くべき巨大さを持ち、180,055桁があります。その数は次のように表現されます:

$$ 10^{180054} + rac{8 imes(10^{58567} - 1)}{9} imes 10^{60744} + 1 $$

関連項目



二面体素数は、その視覚的特性と数理的興味から、数学の世界において特異な位置を占めています。これらの数が持つ魅力を通じて、数学の奥深さに触れることができるでしょう。

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