五心

三角形の五心

初等幾何学の世界では、三角形が持つ特別な性質を示す点がいくつか存在します。その中でも代表的な五つの点をまとめて「五心（ごしん）」と呼びます。これらは具体的には、外心（がいしん）、内心（ないしん）、重心（じゅうしん）、垂心（すいしん）、そして傍心（ぼうしん）です。

これらの点はそれぞれ異なる方法で作図され、特有の性質を持っています。図においては、外心はO、内心はI、重心はG、垂心はH、傍心はJといった記号で表されることが一般的です。また、特殊な例として、正三角形においては傍心を除く四つの点、すなわち外心、内心、重心、垂心が一箇所に重なることが知られています。

それぞれの「心」の作図と性質

外心（Circumcenter）

三角形の三つの辺それぞれについて、その辺の中点を通り、かつその辺に垂直な直線を引くとき、これら三本の直線は一点で交わります。この交点が外心です。外心は、その三角形の全ての頂点を通る唯一の円、すなわち外接円の中心となります。このため、外心から三角形の各頂点までの距離はすべて等しくなります。外心の位置は三角形の形によって異なり、鋭角三角形では三角形の内部に、鈍角三角形では外部に位置します。直角三角形の場合は、最も長い辺（斜辺）のちょうど中点に外心が現れます。

内心（Incenter）

三角形の三つの内角それぞれについて、その角を二等分する直線を引くとき、これら三本の直線は一点で交わります。この交点が内心です。内心は、三角形の三辺全てに接する唯一の円、すなわち内接円の中心となります。そのため、内心から三角形の各辺へ下ろした垂線の長さは全て等しくなります。内心は三角形の中にいつも存在します。

重心（Centroid）

三角形の各頂点から、その頂点の対辺の中点に向かって引かれる線分を「中線」と呼びます。三角形の三本の中線は一点で交わります。この交点が重心です。重心は、それぞれの中線を頂点から数えて2対1の比に分割するという性質を持っています。物理的な観点から見ると、三角形の板があった場合、この重心を支えればバランスが取れる点となります。

垂心（Orthocenter）

三角形の各頂点から、その頂点の対辺（あるいはその辺の延長線）に向かって垂直に下ろした線分を「垂線」と呼びます。三角形の三本の垂線は一点で交わります。この交点が垂心です。垂心の位置も三角形の形によって変わり、鋭角三角形では内部、鈍角三角形では外部にあります。直角三角形の場合、垂心は直角である頂点そのものになります。興味深い性質として、三角形ABCの垂心をHとすると、三角形ABHの垂心はCになるなど、互いに関連し合っています。さらに、外心、重心、垂心は常に同一直線上に並びます。この特別な直線は「オイラー線」として知られています。

傍心（Excenters）

傍心は他の四心とは異なり、一つの三角形に対して三つ存在します。これらは、三角形のどれか一つの内角の二等分線と、残りの二つの角の外角の二等分線が交わる点です。それぞれの傍心は、三角形の一辺とその延長された二辺に接する円（傍接円）の中心となります。内心と傍心、あるいは傍心同士の中点など、その位置関係は三角形の外接円上に乗るという性質が見られます。また、三つの傍接円の半径の逆数を合計すると、内接円の半径の逆数と等しくなるという関係も知られています。

日本における学習内容の変遷

日本の中等教育における五心の扱いは、時代と共に変化しました。1994年4月からの学習指導要領では、五心を含む「三角形の性質」は中学校から高校の数学へと移行し、高校一年生の「数学A」に含まれるようになりました。その後、単元名の変更はありましたが（平面幾何、平面図形を経て現在の図形の性質）、引き続き数学Aで学ばれています。ただし、五心のうち垂心と傍心は発展的な内容とされ、特に大学入試で傍心を主題とした問題が出題されることは稀です。また、高校二年で学ぶ「数学II」の図形と方程式の分野で五心の存在証明や重心の座標が扱われたり、高校三年で学ぶ「数学C」のベクトルを使って重心や垂心に関する内容を掘り下げ、オイラー線の証明を行うこともあります。

これらの五心は、単なる点の集まりではなく、三角形の幾何学的な性質を深く理解するための鍵となります。それぞれの点が持つ独特の性質や、点同士の関係性を学ぶことは、幾何学の探求において非常に興味深いテーマと言えるでしょう。

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