五角形

五角形の概要

五角形（ごかくけい）は、5つの頂点と辺を持つ多角形の一種で、英語では「Pentagon」と呼ばれます。五角形には、正五角形と呼ばれる特定の性質を持つものや、他のさまざまなタイプが存在します。

正五角形

正五角形は、すべての辺の長さが等しく、内角も全て108°で、非常に特別な形状をしています。この正五角形に関連する重要な数式があります:

• - 面積:

\[ A = \frac{5a^2}{4} \cot \left( \frac{\pi}{5} \right) \approx 1.72048 a^2 \]
ここで、aは辺の長さです。

• - 内接円の半径:

\[ r = \frac{a}{2} \cot \left( \frac{\pi}{5} \right) \]

• - 外接円の半径:

\[ R = \frac{a}{2} \csc \left( \frac{\pi}{5} \right) \]

正五角形の作図法

正五角形は、定規とコンパスを用いて作図が可能です。以下にその古典的手法を記載します。

1. 点Oを中心に円を描き、その円が直線と交わる点をA、Bと呼びます。
2. ABの垂直二等分線を引き、OAの垂直二等分線を作図します。
3. OAと垂直二等分線の交点をCとし、円OとABの垂直二等分線の交点の一つをDとします。
4. CDを半径とし、Cを中心にDからABに向かって弧を描きます。この弧とABの交点をEとします。
5. DEを半径とし、Dを中心に弧を描き、円Oと交わる点をFとGとします。
6. FおよびGを中心とした同じ半径の弧を描き、円Oとの交点をD、F、G、I、Hと結び、正五角形を完成させます。

五角形の種類

1. 五等辺五角形

五等辺五角形は、すべての辺が同じ長さの五角形ですが、内角は一定ではありません。正五角形もその一例です。

2. 共円五角形

共円五角形は、外接円がすべての頂点を通る特性があります。正五角形もこのタイプの一つです。

3. ロビンスの五角形

ロビンスの五角形は、有理数の辺と面積を持つ特殊な五角形です。すべての対角線が有理数であるという性質があります。

4. 直角五角形

直角を持つ五角形で、1～3つの直角を有するものがあります。通常、五角形は4つ以上の直角を持つことはできません。

5. 凸と凹の五角形

すべての対角線が辺の平方の合計の3倍未満であれば凸五角形と呼ばれ、少なくとも1つの角が180°を超えると凹五角形になります。

その他の情報

五角形に関する興味深い事実として、五角形の対角線で形作られる星形を「五芒星（ペンタグラム）」といい、さまざまなデザインに見られます。また、アメリカ国防総省はその形状から「ペンタゴン」と呼ばれています。

五角形は数学的な性質だけでなく、建築や自然界にも広く見られる形状です。たとえば、ヒトデやウニなどの棘皮動物、バラ科の花びらなどには、五の要素がよく見受けられます。また、五角数などの数学的な概念とも関連し、さまざまな分野での研究が行われています。

もう一度検索