交換子部分群

交換子部分群の概念

群論における交換子部分群とは、数学の抽象代数学に位置付けられる重要な構成要素の一つです。この部分群は、群内の元同士の交換子から生成される部分群であり、英語では "commutator subgroup"または"derived subgroup"と呼ばれています。交換子部分群はある意味で、群の非可換性を表現しており、特に群 G がアーベル群でない限り、交換子部分群は群 G の元の可換性の度合いを示す役割を果たします。

交換子の定義

群 G 内の元 x と y についての交換子は、次のように定義されます。

$$[x, y] = x^{-1}y^{-1}xy$$

ここで、元 x と y が可換であるための必要十分条件は、この交換子が単位元 e に等しいことです。つまり、x と y が同じ順序で掛けても結果が変わらない場合、即ち $xy = yx$ のとき、交換子は単位元になります。一般には、交換子は群 G の元 g が、適当な元 x, y に基づく形式として表現されることを意味します。この特性により、単位元 e は常に交換子として扱われますが、群 G がアーベルであるためには、この条件が必要です。

交換子恒等式

ここに、重要な交換子恒等式を示します。

1. 反転：$$[x, y]^{-1} = [y, x]$$
2. 共役：$$[x, y]z = [xz, yz]$$
3. 群準同型 φ に対する関係：$$ ext{φ}([x, y]) = [ ext{φ}(x), ext{φ}(y)]$$
4. 結合性の式：$$[xy, z] = [x, z]y[y, z]$$および $$[x, yz] = [x, z][x, y]z$$

このように、交換子の特性には多くの有用な性質がありますが、注意すべきなのは、交換子の積が常に交換子になるわけではないという点です。例えば、自由群の元については、ある二つの交換子の積が交換子として表現できないことが多くの例から知られています。

交換子部分群の定義

群 G の交換子部分群は次のように定義されます。 $[G, G]$ は、全ての交換子 [x, y] から構成される部分群です。この部分群は G の正規部分群であり、交換子部分群は G に対する同型写像でも不変です。

交換子部分群は、群の性質を知る上で極めて重要な概念であり、特に群がアーベル群になるための必要条件は、この交換子部分群がその群に関する全ての情報を保持していることです。無限群では、交換子部分群は無限に続く導来列を持つ可能性もあり、さらにその性質は非常に深いものです。

導来列とアーベル化

交換子部分群は導来群を形成し、これにより繰り返し導来部分群を生成することで、群 G の性質を探ることができます。群 G のアーベル化とは、交換子部分群を含むような正規部分群を用いて行われ、剰余群 G/[G, G] は群 G のアーベル化を示します。

結論

数学の中でも群論はとりわけ奥深い分野であり、特に交換子部分群は群の基本的な特性を理解する上で不可欠な概念です。群の構造や性質を探求するためには、これらの概念の理解が重要であり、その特性に基づいて様々な数学的な議論が展開されるのです。

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