自由群
自由群（じゆうぐん、free group）は、群論において最も基本的な構成要素の一つとして位置づけられる代数構造です。この群の最大の特徴は、その生成元とその逆元、そして単位元に関する自明な等式以外には、元の間に成り立っている関係（等式）が一切ないという点にあります。例えば、生成元が一つだけの自由群は整数全体のなす群（加法群）と同型ですが、生成元が二つ以上の自由群は、生成元をどのように掛け合わせても、簡約によって単位元になる場合を除いて、非自明な等式は決して成り立ちません。自由群の二つの元が等しいか否か、あるいは一方が他方の逆元であるか否かを明確に判断できることも、その性質の一つです。
自由群は、特定の文字集合から形式的に構成することができます。まず、自由群を「生成する」元となる文字の集合 X = {xλ} を考えます。これらに加えて、形式的に各文字の「逆元」を表す文字の集合 X⁻¹ = {xλ⁻¹} も用意し、これら全ての文字を合わせた集合を Ω = X ∪ X⁻¹ と呼びます。
Ωの文字を並べてできる有限の長さの文字列を「語（ご、word）」と呼びます。例えば、X = {a, b} ならば、Ω = {a, a⁻¹, b, b⁻¹} であり、ab⁻¹a、aab、b⁻¹などの文字列が語となります。文字が一つも並んでいない「空語」も語の一つとみなします。
語同士の「積」は、単純に文字列を連結することで定義されます。例えば語 a = a₁a₂...an と語 b = b₁b₂...bm の積 ab は、a₁a₂...anb₁b₂...bm という新しい語になります。この積と空語を単位元とすることで、語の全体はモノイドという代数構造をなします（これを自由モノイドと呼ぶこともあります）。
群を構成するためには、逆元を考慮する必要があります。語の中には、ある文字とその「逆元」を表す文字が隣り合う場合があります（例：...ab b⁻¹c...）。群においては、このような逆元のペアは互いに打ち消し合うべきものです。そこで、隣り合う逆元のペアを取り除く操作を「簡約（かんやく、reduce, cancel）」と呼びます。例えば、ab b⁻¹c は ac に簡約されます。
簡約をこれ以上行えない語を「既約（きやく、irreducible）な語」と呼びます。どんな語も、簡約を繰り返すことで最終的にただ一つの既約な語に行き着くことが知られています。この、ある語から簡約によって得られる既約な語を、その語の「簡約表示」と呼びます。
語の全体において、「簡約表示が一致する」という関係を考えると、これは数学的に同値関係となります。つまり、簡約表示が同じ語は「同じもの」とみなすことができるのです。この同値関係によって分けられた語のグループ（同値類）こそが、自由群の「元」となります。語 a の属する同値類を [a] のように表します。
文字集合 X 上の自由群 F(X) とは、上で構成した語の同値類の集合 F(X) = W(Ω)/~ のことです。この集合に、同値類 [a] と [b] の「積」を [a][b] = [ab] （abは語aとbの連結、[ab]はその簡約表示に対応する同値類）として定義すると、この積演算のもとで F(X) は群の公理を満たします。この群は、文字集合Xによって「生成される」自由群と呼ばれます。
自由群 F(X) は、その最も特徴的な性質として普遍性 (universal property) と呼ばれる性質を持ちます。これは、Xから任意の群Gへのどのような写像 f: X → G に対しても、F(X)からGへの群の準同型（群の構造を保つ写像）~f: F(X) → G がただ一つ存在し、しかもこの準同型をXの元に適用した結果が元の写像fによる像と一致する（つまり~fはfを拡張している）という性質です。
この普遍性は、圏論というより抽象的な数学の分野で現れる「自由対象 (free object)」という概念の具体的な例です。他の多くの普遍的な構造と同様に、自由群は随伴関手という概念とも関連しています。
自由群は、群論全体において非常に基本的な役割を果たします。実は、数学に存在するどんな群も、ある自由群を、特定の「関係式」によって定められる部分群で割った剰余群として表現できることが知られています。これは「群の表示 (presentation of a group)」と呼ばれ、群をその生成元とそれらの間に成り立つ最小限の関係式によって定義する方法を提供します。自由群は、この「関係式」が全くない（自明なものしかない）場合の極限の例として見ることができます。
自由群は、群の構造を理解し、分類し、また他の群との関係性を調べる上での出発点となる重要な概念です。
関連項目：群の表示
構成
自由群は、特定の文字集合から形式的に構成することができます。まず、自由群を「生成する」元となる文字の集合 X = {xλ} を考えます。これらに加えて、形式的に各文字の「逆元」を表す文字の集合 X⁻¹ = {xλ⁻¹} も用意し、これら全ての文字を合わせた集合を Ω = X ∪ X⁻¹ と呼びます。
Ωの文字を並べてできる有限の長さの文字列を「語（ご、word）」と呼びます。例えば、X = {a, b} ならば、Ω = {a, a⁻¹, b, b⁻¹} であり、ab⁻¹a、aab、b⁻¹などの文字列が語となります。文字が一つも並んでいない「空語」も語の一つとみなします。
語同士の「積」は、単純に文字列を連結することで定義されます。例えば語 a = a₁a₂...an と語 b = b₁b₂...bm の積 ab は、a₁a₂...anb₁b₂...bm という新しい語になります。この積と空語を単位元とすることで、語の全体はモノイドという代数構造をなします（これを自由モノイドと呼ぶこともあります）。
群を構成するためには、逆元を考慮する必要があります。語の中には、ある文字とその「逆元」を表す文字が隣り合う場合があります（例：...ab b⁻¹c...）。群においては、このような逆元のペアは互いに打ち消し合うべきものです。そこで、隣り合う逆元のペアを取り除く操作を「簡約（かんやく、reduce, cancel）」と呼びます。例えば、ab b⁻¹c は ac に簡約されます。
簡約をこれ以上行えない語を「既約（きやく、irreducible）な語」と呼びます。どんな語も、簡約を繰り返すことで最終的にただ一つの既約な語に行き着くことが知られています。この、ある語から簡約によって得られる既約な語を、その語の「簡約表示」と呼びます。
語の全体において、「簡約表示が一致する」という関係を考えると、これは数学的に同値関係となります。つまり、簡約表示が同じ語は「同じもの」とみなすことができるのです。この同値関係によって分けられた語のグループ（同値類）こそが、自由群の「元」となります。語 a の属する同値類を [a] のように表します。
定義
文字集合 X 上の自由群 F(X) とは、上で構成した語の同値類の集合 F(X) = W(Ω)/~ のことです。この集合に、同値類 [a] と [b] の「積」を [a][b] = [ab] （abは語aとbの連結、[ab]はその簡約表示に対応する同値類）として定義すると、この積演算のもとで F(X) は群の公理を満たします。この群は、文字集合Xによって「生成される」自由群と呼ばれます。
普遍性
自由群 F(X) は、その最も特徴的な性質として普遍性 (universal property) と呼ばれる性質を持ちます。これは、Xから任意の群Gへのどのような写像 f: X → G に対しても、F(X)からGへの群の準同型（群の構造を保つ写像）~f: F(X) → G がただ一つ存在し、しかもこの準同型をXの元に適用した結果が元の写像fによる像と一致する（つまり~fはfを拡張している）という性質です。
この普遍性は、圏論というより抽象的な数学の分野で現れる「自由対象 (free object)」という概念の具体的な例です。他の多くの普遍的な構造と同様に、自由群は随伴関手という概念とも関連しています。
群の表示
自由群は、群論全体において非常に基本的な役割を果たします。実は、数学に存在するどんな群も、ある自由群を、特定の「関係式」によって定められる部分群で割った剰余群として表現できることが知られています。これは「群の表示 (presentation of a group)」と呼ばれ、群をその生成元とそれらの間に成り立つ最小限の関係式によって定義する方法を提供します。自由群は、この「関係式」が全くない（自明なものしかない）場合の極限の例として見ることができます。
自由群は、群の構造を理解し、分類し、また他の群との関係性を調べる上での出発点となる重要な概念です。
関連項目：群の表示
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