付値環

付値環についての概要

付値環（valuation ring）は、抽象代数学において重要な構造であり、特に整域に関連して考えられます。一般に、この環はその分数体における元の特定の性質を持っています。特に、整域 D でその分数体 F が与えられた場合、F のすべての非零元 x に対して、x または x^{-1} が D に属する必要があります。この関係性により、D は F の付値環と呼ばれ、体 F の特性が捉えられます。

付値環は、幾つかの異なる性質を持っています。それは、D の理想が包含関係で全順序付けられ、D の単項イデアルも同様です。この特徴により、付値環は局所環としても理解されており、特にすべての付値環は局所環であるという性質があります。このとき、局所環の支配関係において、付値環は特段の役割を果たします。

付値環の具体例

付値環の例として、任意の体はそのまま付値環となります。特に、有理整数環 Z の素イデアル (p) における局所化 Z(p) は、開いている分子が整数で、分母が p で割り切れないような分数からなっています。さらに、 マクローリン級数を持つ全複素平面上の有理型関数の環も付値環の一例です。

また、任意の素数 p に対し、p-進整数環 Zp はその分数体を持つ局所環として考えられ、またその整閉包 Zpcl も付値環となります。

付値環の定義と性質

付値環を定義するための同値条件が幾つか存在します。これには、すべての非零元 x に対して x が D に含まれるか x^{-1} が D に含まれる必要があること、D のイデアルが全順序であること、単項イデアルが全順序であることなどが含まれます。これらの条件は、付値環がどのように構成されているのか、またどのように局所的な性質を持つかを示しています。

加えて、付値環のイデアルはその値群によって表現されることが分かります。全順序アーベル群における部分集合は線分とされ、付値環における真のイデアルはその意味で非常に興味深い性質を与えます。

支配関係

付値環の支配とは、環 S が環 R を支配することを指します。これは、S の最大イデアルが R の最大イデアルに交わることが条件となり、局所環において特に重要です。この支配の理論は、代数幾何学でも用いられており、体 K の局所環は K の付値環により支配されることが多くあります。

具体的には、体 K の局所環 R が付値環であることと、その環が他の局所環からの支配条件を満たすことが同値であることから、付値環の構造に対するより深い理解が得られます。

まとめ

付値環はその基本的な構造と、様々な数学的文脈における応用によって非常に重要視されています。体や整域との関連を通じて、数論や代数幾何学においても、その意義は広がっています。付値環を理解することで、数学の持つ豊かな性質と構造をさらに探求するための基礎が築かれることになるでしょう。

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