代数のテンソル積

代数のテンソル積

数学において、二つの R-代数（多元環）を組み合わせることで新しい R-代数を形成する手法をテンソル積と言います。この結果得られる構造は、代数のテンソル積やテンソル積多元環と呼ばれます。特に、どの環も Z-代数と見なせるため、特別なケースとして環のテンソル積も考えることができます。

定義

可換環 R と R-代数 A、B があるとします。これらの代数はそれぞれ R-加群としても扱うことができます。二つの加群 A と B のテンソル積は、次のように表されます。

$$ A ensor_R B $$

このテンソル積は再び R-加群になります。さらに、単純テンソルの積を次のように定義することにより、代数的な構造を持たせることができます。すなわち、生成系となる形の単純テンソルを

$$ (a_1 ensor b_1)(a_2 ensor b_2) = a_1 a_2 ensor b_1 b_2 $$

と定義します。これに線型性を適用することで、全体環に拡張することが可能です。この方法により、得られる積は R-双線型かつ結合的であり、単位元として $$ 1_A ensor 1_B $$ を持ちます。ここで、各 A と B の単位元を表しています。また、A と B が可換であればテンソル積も可換です。このようにして、すべての R-代数の圏 R-Alg は対称モノイド圏の性質を持つことが示されます。

基本的な例

可換環 R、正の整数 n と m、群 G と H を考えます。以下にいくつかの具体例を挙げます。

• - 多項式環のテンソル積: $$ R[x] ensor_R R[y] ext{ は } R[x,y] ext{ に同型} $$
• - 最大公約数の例: $$ rac{Z}{(n)} ensor_Z rac{Z}{(m)} ext{ は } rac{Z}{(d)} ext{ に同型} $$ ここで d は n と m の最大公約数です。
• - 全行列環のテンソル積: $$ M_n(R) ensor_R M_m(R) ext{ は } M_{nm}(R) ext{ に同型} $$
• - 群環のテンソル積: $$ R[G] ensor_R R[H] ext{ は } R[G imes H] ext{ に同型} $$

さらなる性質

A や B はそれぞれ A ⊗ B への自然な準同型を持ちます。

• - $$ A o A ensor B; \, a o a ensor 1_B $$
• - $$ B o A ensor B; \, b o 1_A ensor b $$

これにより、テンソル積は可換 R-代数の圏 R-CAlg における余積となります。しかし、全ての R-代数の圏 R-Alg においては余積ではなく、そこではより一般的な代数の自由積によって与えられます。それでも、非可換代数のテンソル積には余積に類似した普遍性があります。

テンソル積の普遍性

任意の R-代数 X に対して、R-代数の準同型 f: A → X と g: B → X が元ごとに可換である場合、R-代数の準同型 φ: A ⊗ B → X が存在し、次の条件を満たす必要があります。

• - $$ f(a) =

ho(a ensor 1) ext{ 及び } g(b) =
ho(1 ensor b) $$
この場合、自然な同型が成り立ちます。

応用

代数のテンソル積は、代数幾何学において頻繁に利用され、可換 R-代数の圏の逆圏 R-CAlg^{opp} においてアフィンスキームの引き戻し、すなわちファイバー積を提供します。

注

さらに、関連する分野として以下が挙げられます：

• - 係数拡大
• - 加群のテンソル積
• - 体のテンソル積
• - 線型無関連

参考文献

• - Kassel, C. (1995). Quantum groups. Springer.
• - Lang, S. (2002). Algebra. Springer.

外部リンク

• - tensor product of algebras in nLab
• - tensor product of algebras - PlanetMath
• - Definition:Tensor Product at ProofWiki
• - Onishchik, A.L. (2001), “Tensor product”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

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