加群のテンソル積

加群のテンソル積

加群のテンソル積は、双線型写像（例えば、積）についての議論を線型写像の取り扱いへと変換する概念です。これは、ベクトル空間のテンソル積に類似した構造を持ち、可換環上の加群の組に対して行うことで新たな加群を形成し、また任意の環上の左加群と右加群に対しても適用可能です。この操作を通じてアーベル群を得ることもできます。テンソル積は、抽象代数学、ホモロジー代数学、代数トポロジー、代数幾何学など多様な分野で重要な役割を果たします。

多重線型写像の定義

環を R、右 R-加群を M、左 R-加群を N、アーベル群を Z とした場合、M × N から Z への双線型写像、または平衡積とは、以下の三つの条件を満たす関数 φ: M × N → Z です。

1. φ(m + m′, n) = φ(m, n) + φ(m′, n)
2. φ(m, n + n′) = φ(m, n) + φ(m, n′)
3. φ(m · r, n) = φ(m, r · n)

このような双線型写像の集合は一般に Bilin(M, N; Z) で表されます。この中で、最初の二つの条件はベクトル空間に対する定義に似ていますが、三つ目の条件が異なる点に注意が必要です。なぜなら、Z はアーベル群であるという前提があるからです。

双線型写像同士の演算は、pointwise に定義され、φ + ψ も双線型写像になり、−φ も同様です。この性質により、Bilin(M, N; Z) はアーベル群となります。これをもとに、固定された M と N に対して、写像 Z ↦ Bilin(M, N; Z) はアーベル群の圏から集合の圏への関手となります。

テンソル積の定義

加群 M と N に対して、R 上のテンソル積 M⊗_R N は次のように定義されます。テンソル積は、アーベル群として、次の特性を満たす双線型写像 ⊗: M × N → M⊗_R N を持ちます。これは、すべてのアーベル群 Z と、その上の双線型写像 f: M × N → Z に対して、唯一の群準同型 ilde{f}: M⊗_R N → Z が存在し、f = ilde{f}∘⊗ となることを要求します。これにより、M⊗_R N はユニークに定義されます。

構成方法

テンソル積 M⊗ N の構成は、m ∈ M と n ∈ N に対して記号 m⊗n を基底とする自由アーベル群によって生成される部分群を商集合として扱います。この部分群は、次のような形の元から構成されます：

• - −(m+m′) ⊗ n + m ⊗ n + m′ ⊗ n
• - −m ⊗ (n+n′) + m ⊗ n + m ⊗ n′
• - (m·r) ⊗ n − m ⊗ (r·n)

ここで、m, m′ ∈ M、n, n′ ∈ N、r ∈ R です。これにより、元 (m, n) を m ⊗ n を含む剰余類に写す関数が双線型である性質を満たすように選ばれます。

平坦加群との関係

一般に、テンソル積の操作は、右と左の R-加群を受け取り、アーベル群の圏におけるテンソル積へと変換する双関手となります。これにより、テンソル積は両方の位置において共変な特性を持ちます。ただし、特定の条件下で左完全でないことがありますが、平坦加群の場合にはこの条件が容易に満たされます。

具体例

具体的な例として、有理数 Q と整数 Zn を考えます。両者は整数 Z 上の加群として解釈され、双線型演算を設定することが可能です。この場合、すべての双線型演算は恒等的に 0 となるため、テンソル積は自明な加群として定義されます。このように、加群のテンソル積は複数の数学的内容を簡潔に表現できる強力な道具なのです。

これらのように、加群のテンソル積はその構成方法と特性から多くの数学的分野において中心的な役割を担っています。

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