伝達関数法

伝達関数法による制御システム解析

伝達関数法は、制御システムの挙動を解析するための強力な数学的ツールです。ラプラス変換やZ変換といった複素関数論に基づいており、システムの入力と出力の関係を簡潔に表現することで、複雑なシステムの解析を容易にします。

伝達関数

システムの伝達関数とは、システムへの入力を出力に変換する関数のことを指します。すべての初期値を0とした場合、制御系の出力と入力のラプラス変換（連続システム）またはZ変換（離散システム）の比として定義されます。

連続システムの場合、出力信号をy(t)、入力信号をx(t) 、それぞれのラプラス変換をY(s)、X(s)とすると、伝達関数G(s)は次式で表されます。

G(s) = Y(s) / X(s)

離散システムの場合、Z変換を用いて同様の表現が可能です。

伝達関数法では、時間領域の関数をラプラス変換またはZ変換によって複素平面に写像し、さらに周波数領域に変換することで、システムの特性や安定性を解析します。この手法は、特に1入力1出力（線形）システムの解析に非常に有効です。ただし、多入力多出力システムや非線形システムの解析には、状態空間法などのより高度な手法が必要となります。

周波数伝達関数

ラプラス変換の複素変数sをjω（jは虚数単位、ωは角周波数）に置き換えることで、周波数伝達関数G(jω)が得られます。周波数伝達関数は複素数であり、その絶対値（ゲイン）と偏角（位相）によってシステムの周波数特性を表します。

: ゲイン（利得）
∠G(jω): 位相（位相角）

これらの特性を視覚的に把握するために、ナイキスト線図、ボード線図、ニコルス線図といった様々な図表が用いられます。

各種要素の伝達関数

様々な制御システム要素は、それぞれ固有の伝達関数で表現できます。いくつかの代表的な要素とその伝達関数を以下に示します。

積分要素: G(s) = k/s (kは比例定数)
1次遅れ要素: G(s) = K/(Ts+1) (Kはゲイン、Tは時定数)
微分要素: G(s) = Ts (Tは時定数)
むだ時間要素: G(s) = e^(-sτ) (τはむだ時間) 通信遅延など、解析が複雑になる要素
2次遅れ要素: G(s) = K/((T₁s+1)(T₂s+1)) (Kはゲイン、T₁、T₂は時定数)
2次遅れ要素（減衰振動）: G(s) = K/(s²+2ζωₙs+ωₙ²) (Kはゲイン、ζは減衰比、ωₙは自然角周波数) ζ<1 の場合、減衰振動を示す。
* 積分要素と1次遅れ要素の組み合わせ: G(s) = K/(s(Ts+1)) (Kはゲイン、Tは時定数)

これらの基本的な要素の伝達関数を組み合わせることで、より複雑なシステムの伝達関数を構築し、解析することが可能です。

まとめ

伝達関数法は、制御システムの解析において広く用いられる基本的な手法です。その簡潔さと有効性から、現代制御理論の基礎をなす重要な概念となっています。ただし、適用範囲は線形システムに限定されるため、非線形システムの解析には他の手法が必要となります。

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