伴う素イデアル

環における加群の素イデアルと素因子

本記事では、抽象代数学における環と加群の観点から素イデアルおよび素因子に関する理論を探ります。特に、環 R 上の加群 M に関連する素イデアルの定義とその性質を中心に、可換環論との関連性を明らかにします。

素イデアルとその定義

環 R における加群 M の素イデアル（associated prime）とは、加群 M に付随する素因子を指します。これらは、加群内の部分加群における零化イデアルから形成され、通常 AssR(M) の記号で表されます。

例えば、加群 M の中にある素部分加群 N に対して、その零化イデアル AnnR(N) が素イデアルであり、この関係が成り立ちます。加群 N が prime module であるためには、その非零部分加群 N′ が常に AnnR(N) に一致することが必要です。加群 M に対する素イデアル P は、M の非零元 m に対して AnnR(m) の形で表現されることが多いです。

可換環論との結びつき

可換環論では、素因子はイデアルの準素分解と密接に関連しています。イデアル J が準素イデアルの交叉として表現される場合、その根基は素イデアルとなります。この結果、AssR(R/J) は、イデアル J を含む素イデアルの集合と同一視されます。このように、可換環における概念は、一般的な環の設定でも通用します。

特に、孤立素因子と埋め込まれた素因子の区別も重要です。孤立素因子は AssR(M) の中で極小の元を持つ素因子を指し、非孤立素因子は他の素因子を真に含むものです。

性質および関連理論

加群 M に対する素因子の性質には、以下の重要な点があります:
1. もし M′ が M の部分加群であれば、AssR(M′) は AssR(M) の部分集合です。
2. 可換局所環において、有限生成加群の素因子の集合が空であることもあり得ますが、逆にネーター環ではすべての非零加群には少なくとも一つの素因子が存在します。
3. 任意の一様加群は素因子を一つかゼロ持つため、特別なケースに属します。
4. ネーター加群の素因子は有限個しか存在しないという特性も注目すべき点です。

具体的な例

加群の素因子を理解するためにいくつかの例を考えましょう。例えば、有理整数環において非自明な自由アーベル群や素逆数のアーベル群は coprimary として知られています。また、有限アーベル群の素因子は、その位数を割り切る素数に一致します。これは加群の特性を理解するための強力な手掛かりとなります。

結論

加群の素イデアルと素因子の概念は、数理的抽象を理解するための重要な要素です。これらの概念を通じて、代数的構造やその性質を深く探求することが可能になります。今後の研究においても、この基盤が多大な影響を及ぼすことでしょう。

参考文献

• - Eisenbud, David (1995). Commutative algebra. Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag.
• - Lam, Tsit-Yuen (1999). Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics No. 189, Springer-Verlag.
• - Matsumura, Hideyuki (1970). Commutative algebra.

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