位相群の群環

群環とは

群環（ぐんかん、英: group algebra）は、数学において特に局所コンパクト群に対する重要な概念です。この構造はその群に対応する表現が、特定の環の表現として理解できるような方法に基づいています。具体的には、群環は群の性質を位相に依存せずに考える際に役立つツールとなります。

群環 Cc(G)

ここで、函解析の領域においては、純粋な代数的構築に基づいた群環から、位相群 G への拡張が行われます。G が局所コンパクトハウスドルフ位相群の場合、ハール測度と呼ばれる特別な測度が存在し、これにより G 上のコンパクト台を持つ複素数値の連続関数全体の空間 Cc(G) において畳み込み演算を定義することが可能です。

畳み込み演算は、任意の二元 f, g に対して次のように計算されます。式は次の通りです。

$$
f g = \int_{G} f(s) g(s^{-1}t) \, d\mu(s)
$$

この演算により、f g は Cc(G) に属することが保証され、その連続性も優収斂定理に基づいて確認できます。また、C(G) には以下のような対合も存在します。

$$
f^{}(s) = \overline{f(s^{-1})} \Delta(s^{-1})
$$

ここで、Δは G のモジュラスを表します。この対合により、Cc(G) は -環の性質を持ちます。

定理とその意味

ノルムの観点から、Cc(G) は近似単位元を持つ対合ノルム代数を形成します。この場合、近似単位元はコンパクト集合の近傍に基づいて選定できます。具体的には、単位元のコンパクト近傍 V に対して、非負連続関数 fV を選び、その定積分が 1 であることで近似単位元の性質を満たします。

群環が厳密な単位元を持つための必要十分条件は、群の位相が離散位相であることです。離散群においては、Cc(G) は複素数群環 C[G] に等しいことに注意してください。この群環の重要性は、G におけるユニタリ表現の理論を的確に捉えられる点にあります。

ユニタリ表現と論理

局所コンパクト群 G において、ヒルベルト空間 H における G の強連続ユニタリ表現 U は、ノルム代数 Cc(G) の非退化有界 -表現であり、G の強連続ユニタリ表現全体との間には全単射の関係が成り立ちます。この関係はユニタリ同値と強束縛に矛盾しないことが証明されています。特に、数理的に言えば、πU が既約であることと U が既約であることは同値となるのです。

このように、π が非退化であるとは、Hπ における挙動が稠密であることを意味します。

畳み込み代数 L1(G)

測度論の通常の定理により、Cc(G) の L1 ノルムによる完備化は可積分な関数の空間 L1(G) に同型となります。この L1(G) は、畳み込み積や対合、ノルムの規則に従ってバナハ -環として機能します。さらに、L1(G) は近似単位元も持っています。

群 C∗-環 C∗(G) および被約群 C∗-環 C∗r(G)

局所コンパクト群 G に対する C∗-環 C∗(G) は、L1(G) に対する C∗-展開環として定義され、C[G] から任意の *-準同型が適当な B(H) へ写像されることによって示されます。これにより、被約群の C∗-環である C∗r(G) が定義され、L2 ノルムに基づく完備化を経て、作用素のノルムを得ることができます。

結論

また、群フォンノイマン環 W∗(G) は C∗(G) の展開フォンノイマン環として機能し、離散群の場合、ヒルベルト空間の基底として精確に行動します。非被約群 C∗-環との関係は、群の特性に依存するため、数学的にはこの分野の理解が深まることにつながります。

もう一度検索