∂

∂記号：数学における多様な役割

∂記号は、筆記体のdを様式化した数学記号で、偏微分をはじめ、様々な数学的概念において重要な役割を果たします。一見シンプルな記号ですが、その歴史と多様な用途を知ることで、数学への理解が深まります。

記号の起源と歴史

この記号は1770年、ニコラ・ド・コンドルセによって偏差分の記号として初めて使用されました。その後、1786年にアドリアン＝マリ・ルジャンドルが偏微分の表記に採用し、広く知られるようになりました。積分記号∫が長いsを起源とするように、∂はdの草書体から派生したと考えられています。ルジャンドル自身は後にこの記号の使用を止めましたが、1841年にカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビによって再導入され、現代数学において不可欠な記号として定着しました。

∂記号の様々な名称

∂記号は、その形状から様々な名称で呼ばれています。代表的なものとしては、「カーリーディー」「ラウンドディー」「カーブディー」「ダバ」「ヤコビのデルタ」などがあります。「デル」と呼ばれることもありますが、これは∇（ナブラ）とも共有される名称です。その他にも、「ディー」「パーシャルディー」「ドー」「ダイ」といった呼び名も存在します。

LaTeXでは`\partial`と記述することで、∂記号を出力できます。

∂記号の主な用途

1. 偏微分

解析学において、∂記号は偏微分の表記に用いられます。多変数関数の偏微分では、どの変数に関して微分するのかを明確にする必要があり、この記号がその役割を果たします。

例えば、二変数関数f(x, y)をxで偏微分する場合は、次のように表記します。

∂f/∂x = ∂f(x,y)/∂x = (∂/∂x)f(x, y)

同様に、yで偏微分する場合は∂f/∂yと表記します。

2. 境界

位相空間論では、位相空間の部分集合の境界を表すために∂記号が用いられます。例えば、位相空間Dの部分集合の境界は∂Dと表記されます。これは、集合Dの内部と外部の境界面を表す概念です。

3. ヤコビ行列

多変数ベクトル値関数の勾配ベクトルを縦に並べた行列をヤコビ行列と呼びます。この行列の各成分は、偏微分で表され、∂記号を用いて以下のように表現されます。

∂f/∂x = ∂(f₁, f₂, ..., fₘ)/∂(x₁, x₂, ..., xₙ) = ∂f₁/∂x₁, ..., ∂f₁/∂xₙ], ..., [∂fₘ/∂x₁, ..., ∂fₘ/∂xₙ

このヤコビ行列は、多変数関数の微分に関する重要な概念であり、様々な応用を持ちます。

まとめ

∂記号は、一見シンプルな記号ですが、その背景には豊かな歴史と、数学における多様な応用が潜んでいます。偏微分から境界、ヤコビ行列まで、様々な数学的概念を理解する上で、この記号は不可欠な存在です。その多様な役割を理解することは、数学への理解を深める上で重要なステップとなります。

もう一度検索