ヤングの定理

ヤングの定理と偏微分の順序交換可能性

ヤングの定理は、多変数関数において、特定の条件下で偏微分の順序を交換できることを示す重要な定理です。これは、二階偏導関数の対称性、もしくは混合微分の等価性とも呼ばれます。

例えば、二変数関数f(x, y)について、xで偏微分した後にyで偏微分する操作と、yで偏微分した後にxで偏微分する操作が等価である場合、ヤングの定理が成立します。数式で表すと以下のようになります。

∂²/∂x∂y f(x, y) = ∂²/∂y∂x f(x, y)

この等式が成立するということは、ヘッセ行列と呼ばれる、関数の二階偏導関数からなる行列が対称行列になることを意味します。ヘッセ行列の対角成分は、同じ変数に関する二階偏導関数、非対角成分は混合偏導関数（異なる変数に関する逐次導関数）を表します。

多くの実用的な状況では、ヘッセ行列は対称です。しかし、必ずしもそうとは限りません。ヤングの定理は、この対称性が成り立つための十分条件を示しています。

シュワルツの定理

ヤングの定理と密接に関連する定理として、シュワルツの定理（またはクレローの定理）があります。これは、関数が連続な二階偏導関数を持つ場合、偏微分の順序交換が可能であることを保証します。

より厳密には、n変数関数f(x₁, x₂, ..., xₙ)が、点(a₁, a₂, ..., aₙ)において連続な二階偏導関数を持つならば、任意のi, jに対して以下の等式が成立します。

∂²f/∂xᵢ∂xⱼ (a₁, a₂, ..., aₙ) = ∂²f/∂xⱼ∂xᵢ (a₁, a₂, ..., aₙ)

シュワルツの定理は、グリーンの定理を用いた証明など、いくつかの証明方法があります。

超関数による定式化

シュワルツの超関数の理論を用いることで、偏微分の順序交換に関する解析的な問題を回避できます。超関数では、任意の可積分関数の導関数を定義でき、この意味において混合偏導関数の対称性は常に成立します。

超関数の微分は、形式的な部分積分によって定義されます。この方法では、偏導関数の対称性の問題は、テスト関数の対称性に帰着されます。テスト関数は滑らかであるため、対称性を満たします。

フーリエ変換を用いるアプローチも可能です。フーリエ変換の下では、偏微分は乗算作用素になり、これらの作用素は明らかに可換です。

連続性の重要性と非対称関数の例

シュワルツの定理は、関数が連続な二階偏導関数を持つことを仮定しています。この仮定が満たされない場合、偏導関数の対称性は成り立たない可能性があります。

例えば、以下のような関数を考えます。

f(x, y) = xy(x² - y²) / (x² + y²), (x,y) ≠ (0,0)

f(x, y) = 0, (x,y) = (0,0)

この関数は原点以外では連続ですが、原点においては偏導関数の対称性が成り立ちません。この例は、偏微分の順序交換可能性が、関数の滑らかさに依存することを示しています。

リー代数との関係

一階微分作用素をユークリッド空間上の無限小作用素とみなすと、ヤングの定理はリー代数の性質と関連付けられます。各変数に関する偏微分作用素は、互いに可換な1-パラメータ変換群を生成し、そのリーブラケットは0になります。これは、偏微分の順序交換可能性をリー代数の観点から解釈することを可能にします。

まとめ

ヤングの定理とシュワルツの定理は、多変数関数の解析において基本的な役割を果たします。これらの定理は、偏微分の順序交換可能性、ヘッセ行列の対称性、関数の滑らかさといった重要な概念を理解する上で不可欠です。超関数やリー代数といった高度な数学的概念を用いることで、より深い理解が得られます。

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