像 (数学)

写像の像と逆像

数学において、写像は集合間の対応関係を表す重要な概念です。この文書では、写像に関する重要な概念である「像」と「逆像」について詳しく解説します。

像とは

写像の像とは、写像によってある集合の要素が写される先の集合の部分集合のことです。具体的には、始域（定義域）の部分集合を写像がどのように変換するかを表すものです。

像には以下の3種類の意味があります。

1. 元の像: 始域の元xを写像fで変換した結果f(x)を、xの像と呼びます。これは、xを入力として写像fが返す出力値に相当します。
2. 部分集合の像: 始域の部分集合Aの像f[A]とは、Aに含まれる全ての元の像の集合です。つまり、Aの各元をfで変換して得られる値全てからなる集合です。記号としてはf[A]やf(A)がよく使われますが、f(A)は関数fをAに適用した結果とも解釈できるため注意が必要です。
3. 写像の像: 写像fの始域全体Xの像f[X]を、単に写像fの像と呼び、im fなどで表します。これは写像fによって実際に到達される終域の部分集合を表し、写像の値域とも呼ばれる場合があります。終域とは異なることに注意しましょう。

逆像（原像）とは

逆像（原像）は、終域の部分集合から始域の部分集合への対応関係を表す概念です。終域の部分集合Bに対し、その逆像f⁻¹[B]とは、写像fによってBに写される始域の元全体の集合です。

逆像は、写像が全単射でなくても定義されます。全単射の場合、逆写像f⁻¹が存在し、逆像は逆写像による像と一致します。逆像は、ある条件を満たす始域の元を特定する際に非常に有効です。

終域の元yに対する逆像f⁻¹[{y}]は、ファイバーまたはyのレベル集合と呼ばれ、yに写される始域の元全体の集合を表します。

記号の注意点

像と逆像を表す記号は、文脈によって異なる解釈がされることがあるため注意が必要です。特に、f(A)とf⁻¹(B)は、それぞれ部分集合の像と逆像を表す場合と、関数の適用を表す場合があり、文脈から適切に判断する必要があります。

混乱を避けるため、冪集合間の写像として像と逆像を表す記法が提案されています。例えば、矢印記法では、f→とf←を用いて、それぞれ部分集合の像と逆像を表します。

例

いくつかの具体例を通して、像と逆像の概念を理解しましょう。

例1: f: {1, 2, 3} → {a, b, c, d} をf(1) = f(2) = a, f(3) = cと定義します。このとき、f[{1, 2}] = {a}, f[{1, 2, 3}] = {a, c}となります。また、f⁻¹[{a}] = {1, 2}, f⁻¹[{a, c}] = {1, 2, 3}です。
例2: f: ℝ → ℝ をf(x) = x² と定義します。このとき、f[{1, 2}] = {1, 4}、f⁻¹[{1, 4}] = {-2, -1, 1, 2} となります。
例3: Mが可微分多様体で、π: TM → Mが接束TMからMへの標準射影の場合、点x∈M上のπに関するファイバーは、xにおける接空間Tₓ(M)です。これはファイバー束の一例です。

像と逆像の基本的な性質

像と逆像には、以下の重要な性質があります。これらの性質は、集合の演算と写像の性質を理解する上で重要となります。

和集合と積集合に関する性質：像と逆像は和集合と積集合に関して、特定の性質を持ちます。特に逆像は、和集合と積集合を保存する事が重要です。

まとめ

本稿では、数学における写像の像と逆像について解説しました。像と逆像は、写像の性質を理解する上で重要な概念であり、集合論や位相空間論などの様々な分野で活用されます。特に、逆像は集合の演算をうまく扱うための重要な道具となります。それぞれの定義と性質を理解することで、数学におけるより高度な概念を理解する助けとなるでしょう。

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