入射加群

入射加群について

入射加群（にゅうしゃかぐん、英: injective module）は、ホモロジー代数の重要な概念であり、特定の条件を満たす加群のことを指します。この加群は、関手 Hom(–, E) が完全であるような加群 E を特徴としています。一般の加群 Q に対し、反変関手 Hom(–, Q) は左完全であり、任意の短完全列に対しても成り立ちます。この観点から、入射加群の特性を理解することができます。

入射加群の動機

反変関手 Hom(–, Q) が左完全であることは、次のように表現できます。

0 → N → M → K → 0 の場合、
0 → Hom(K, Q) → Hom(M, Q) → Hom(N, Q) も短完全列となります。この時、関手 Hom(–, E) が完全であるとは、次のような完全列が成り立つことを意味します：

0 → Hom(K, Q) → Hom(M, Q) → Hom(N, Q) → 0
このような特性を持つ加群 Q を移入加群と呼びます。

移入加群の性質

次に、加群 Q が移入加群であるための条件を考察します。環 R が単位元を持つ場合について、すべての加群は左 R 加群、すべての射は左 R 加群の準同型であるとします。以下に示す条件は、加群 Q が移入加群であることを表現します。

1. Hom(–, Q) が完全であること。
2. 任意の単射 N → M に対して、Hom(M, Q) → Hom(N, Q) が全射であること。
3. 任意の加群 M と正の整数 n に対して、Extn(M, Q) = 0 であること。
4. 任意の巡回加群 C に対して、Ext1(C, Q) = 0 であること。
5. 任意の単射 f: X → Y と射 g: X → Q がある場合、h f = g となる射 h: Y → Q が存在すること。
6. 任意の単射準同型 f: Q → M は分裂単射であること。
7. 任意の短完全列 0 → Q → M → K → 0 は分裂すること。

自己移入環と Baerの判定法

環 R がその自身の左加群として移入的であるとき、その環は左自己移入環と呼ばれます。ちなみに、右自己移入環についても同様に定義できます。

Baerの判定法によると、左 R-加群 Q が移入加群であるための必要十分条件は、R の任意の左イデアル L に対する任意の準同型 L → Q に対して、その拡張 R → Q が存在することです。

移入分解と移入次元

加群 M に対して、各 Q_i が移入加群であるような完全列を次のように定義します：

0 → M → Q_0 → Q_1 → ... → Q_n → Q_{n+1} → ...
これを M の移入分解と呼びます。任意の加群は移入分解を持つことが保証されています。また、すべての i > n に対し Q_i = 0 になるような移入分解を「長さ n の移入分解」と呼び、その場合の最小 n を M の移入次元と呼びます。存在しない場合、移入次元は ∞ となり、特別なケースとして {0} の移入次元は −1 です。移入次元は通常 id(M) で表されます。加群 M と整数 n ≥ 0 に対して、以下の条件が同値であることが確定しています。

• - id(M) ≤ n.
• - 任意の R-加群 X に対して、Ext_{R}^{n+1}(X, M) = {0} である。
• - 任意の i ≥ n+1 に対して、Ext_{R}^{i}(X, M) = {0} である。

参考文献

• - 岩永, 恭雄、佐藤, 眞久、佐藤眞久『環と加群のホモロジー代数的理論』（第1版）日本評論社、2002年。
• - Lam, Tsit-Yuen (1999). Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics No. 189. Berlin, New York: Springer-Verlag.

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