全商環

全商環（Total Quotient Ring）

全商環とは、整域に基づいてその概念を一般化した可換環の一種です。この環は、零因子を持つ可換環においても適用可能で、非零因子に対して逆元を加えることによって、より広範な環を構築する操作に関連しています。この過程では、零因子は可逆化できないため、全商環の性質上、さらに逆元を追加して拡大することは不可能です。そのため、全商環は「可能な限り逆元を付加した」と解釈され、最大の環として位置づけられます。

定義

可換環を R とし、S をその中の非零因子全体で構成された集合とします。この S は、R の零元を含まず、かつ R における乗法的な閉包性を持つ部分集合です。このように定義される環 R の S による局所化によって、全商環 S⁻¹R が得られます。一般に、可換環 R の全商環は Q(R) とも表記されます。

特に、R が可換整域である場合、非零因子 S は R の全体（R∗ = R − {0}）となり、全商環は R の商体と一致します。このことから、整域の商体は Q(R) として記述されるため、どちらの文脈で使用されても混乱は生じません。さらに、S に零因子が含まれないため、自然な射影 R → Q(R) は単射となり、全商環 Q(R) は R の拡大環となるのです。

例

• - 環の直和 A ⊕ B の全商環 Q(A ⊕ B) は、各々の全商環 Q(A) ⊕ Q(B) と等しくなる。
• - ガウス平面上の開集合 D における正則関数との全商環は、D 上の有理型関数の環を形成する。ただし、D は必ずしも連結である必要はありません。
• - R がアルティン環であれば、全ての元は単元または零因子であり、非零因子の集合 S は R の単数群 R× となり、全商環 Q(R) は (R×)⁻¹R として表されます。しかし、ここでの S = R× の元はすべて可逆であるため、Q(R) は R 自体に一致します。
• - また、可換フォンノイマン正則環 R においても同様の事例が見られます。この場合、元 a が零因子でないと仮定すると、適当な元 x ∈ R を使い、式 a=axa で表すことができ、最終的に a は単元であることが示され、Q(R) = R が成り立ちます。

応用

全商環の概念は代数幾何学にも応用され、スキーム上の全商環の層を介してカルティエ因子（Cartier divisor）の定義が可能であることが示されています。

一般化

可換環 R の一般化として、S が R の単位元を含む任意の乗法的マグマであれば、同様の手法を用いて S⁻¹R を構成できます。ただし、ここでの分母に用いることができるのは S の元のみです。もし S に R の零元が含まれている場合、S⁻¹R は自明な環となります。詳細は環の局所化に関する文献を参照してください。

注意

全商環の理解には、整域や可換環の基本的な性質についての知識が必要です。これらの概念は時に抽象的であるため、具体的な例を参照しながら学ぶことが有効です。

典拠

• - Hideyuki Matsumura, Commutative algebra, 1980.
• - Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory, 1989.

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