共円

幾何学において、複数の点が共円（きょうえん、英語: concyclic, cocyclic）であるとは、それらの点が全て同一の円周上に存在することを指します。これは、点と円という図形の関係性を示す基本的な概念です。

共円な点集合に共通する性質として、それらの点から、点が乗っている円の中心までの距離が全て等しいという点が挙げられます。この距離は、その円の半径に他なりません。

平面上の三つの異なる点が与えられたとき、それらが同一直線上にない限り、必ず共円となります。つまり、それら三点を通るただ一つの円、すなわち外接円が存在します。しかし、四点以上の点集合が与えられた場合、それらが必ずしも共円となるわけではありません。

共円な点集合に対して、その中心となる円の中心は、どのように特定されるでしょうか。円周上の任意の二点を選んだとき、円の中心はその二点を結ぶ線分の垂直二等分線上に必ず位置します。したがって、複数の点が共円であるためには、それらの点のうち任意の二点から引かれる全ての垂直二等分線が、ただ一点で交わることが必要十分条件となります。この交点が、点が乗っている円の中心となります。

多角形の全ての頂点が共円であるとき、その多角形を共円多角形と呼びます。

三角形: 任意の三角形の三つの頂点は常に共円です。その三頂点を通る円は三角形の外接円と呼ばれます。共円点の集合が共有する円の半径は、その集合から選んだ任意の三点を頂点とする三角形の外接円の半径に等しくなります。この半径は、三角形の辺の長さを用いて計算できます。また、三角形に関連して、頂点以外の特定の点の集合が共円となる例が複数知られています（九点円やレスターの定理など）。
四角形: 四つの頂点が共円である四角形を共円四辺形と呼びます。四角形が共円となるための主要な条件としては、一つの辺に対する円周角が等しいこと（例えば、∠CAD = ∠CBD）や、向かい合う内角の和が180度であることなどがあります。共円四辺形の外接円の半径は、その辺の長さを用いて求めることができます（パラメーシュヴァラの公式）。さらに、共円四辺形ではトレミーの定理が成り立ちます。これは、対角線の長さの積が二組の対辺の積の和に等しい（対角線ACとBDに対し AC・BD = AB・CD + BC・AD）という関係です。また、対角線を含む直線が交点Xを持つ場合、方冪の定理によりAX・XC = BX・XDが成り立つことが共円の必要十分条件となります。
* 一般の多角形: より一般に、多角形が共円であることは、その全ての辺の垂直二等分線が一つの点で交わることと同値です。

各種幾何学における共円性:

幾何学の分野によっては、同一直線上の点（共線点）を、半径が無限大の円周上の点と見なして共円点の特別なケースとして扱うことがあります。この考え方は、射影幾何学や、円に関する反転、メビウス変換といった変換を扱う際に有効です。これらの変換は、この拡張された意味での共円性を保つ性質を持っています。

また、複素数平面上では、四つの点が共円または共線である必要十分条件は、それらの複比が実数となることとして簡潔に表現されます。

その他の性質と例:

五つ以上の点が共円であるための必要十分条件は、その点集合から任意に選んだ四つの点の部分集合が全て共円であることです。これは、特定の集合が持つ性質に関するヘリーの定理と類比できます。

共円点の具体的な例としては、三角形に関するものが豊富です。例えば、任意の三角形には九点円と呼ばれる円が存在し、各辺の中点、各頂点から対辺に下ろした垂線の足、各頂点と垂心を結ぶ線分の中点という九つの点がこの円周上に位置します。また、特定の条件を満たす三角形では、二つのフェルマー点、九点円の中心、外心が共円となる（レスターの定理）など、様々な共円点の組み合わせが発見されています。多角形では、正多角形は常に共円多角形です。また、円に外接する多角形の内接円との接点群も共円となります。さらに、直交対角線を持つ凸四角形においては、その四つの辺の中点と、中点から下ろした垂線の足の合計八点が共円となる性質（八点円）があります。

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