円周の測定

アルキメデスが紀元前3世紀半ば、およそ紀元前250年頃に著した数学書に『円周の測定』（古代ギリシャ語: Κύκλου μέτρησις）があります。これは、アルキメデスによる長年にわたる研究の一環としてまとめられた、わずか三つの命題から成る簡潔な著作です。この書簡は、円に関する重要な幾何学的性質と、後に数学定数πとして知られる円周率の精度の高い近似値を扱っています。

命題

命題1

第一の命題では、円の面積に関する重要な発見が示されています。アルキメデスは、ある円と同じ面積を持つ図形は、その円の半径を一つの直角を挟む辺とし、円周の長さをもう一つの直角を挟む辺とする直角三角形であることを証明しました。つまり、半径 r、円周 c の円の面積は、底辺 c、高さ r の直角三角形の面積 1/2 c r に等しいということです。この結論を導くために、アルキメデスは古代ギリシャ数学における高度な証明手法である「取り尽くし法（Exhaustion Method）」を用いています。

命題2

第二の命題では、円の面積と、その直径を一辺とする正方形の面積との比率に言及しています。この命題によれば、円の面積は、直径を辺長とする正方形の面積の11/14に相当します。ただし、アルキメデス自身がこの命題を独自に証明したわけではなく、その内容は第三の命題で示される円周率の近似値に依存しています。したがって、この命題は数学的な順序というよりは、具体的な比率を示すためにここに配置されたと考えられています。

命題3

第三の命題は、『円周の測定』の最も有名な部分であり、円周と直径の比、すなわち円周率（π）の近似値を扱っています。アルキメデスは、円周率が特定の二つの分数、すなわち 310/71（約3.1408）より大きく、かつ 31/7（約3.1428）より小さい範囲にあることを明らかにしました。これは、現代の円周率の正確な値 π ≈ 3.14159... に非常に近い近似です。この驚異的な精度を達成するために、アルキメデスは特定の円に内接する正多角形と外接する正多角形を用いる方法を採用しました。具体的には、彼は96角形を用い、多角形の周長から円周の長さを上下から挟み込むことで、円周率の存在範囲を絞り込みました。

平方根の近似

『円周の測定』、特に第三命題の計算過程には、円周率の計算に必要なルート3（√3）などの無理数の精密な近似値も含まれています。例えば、√3の値について、アルキメデスは 1351/780 > √3 > 265/153 という不等式を示しています。これらの分数による近似は非常に正確ですが、アルキメデス自身がどのようにしてこれらの値を見出したのかについては、著作の中で明記されていません。そのため、後世の研究者たちは様々な推測を巡らせてきました。一説には、これらの近似値がペル方程式や連分数展開の研究と関連がある可能性が指摘されています。この数論的なアプローチをアルキメデスがどの程度理解していたかについては議論の余地があります。これらの境界値の導出方法に関する考察は、1723年のトマ・ファント・ド・ラニーに始まり、ヒエロニムス・ゲオルク・ツォイテンによってより明確に分析されました。さらに、1880年代初頭には、フリードリヒ・フルチュやKarl Heinrich Hunrathらが、エウクレイデスの『原論』に示される原理を応用した、完全平方に近い数の平方根に対する単純な二項不等式を用いることで、同様の境界値を比較的容易に得られる方法を示しました。この手法はトーマス・ヒースによっても支持されています。ただし、アルキメデスが具体的にどの手法を用いたかは不明であり、上記の推測以外にも、例えば十二角形を用いた幾何学的な反復構造によっても、円周率の計算に必要な特定の三角比（tan(π/12)など）の有理数近似を得る道筋が存在することも指摘されています。これらの歴史的な考察は、アルキメデスの数学的手法がいかに高度であったかを示唆しています。

もう一度検索