冪零元

冪零元の定義と応用

冪零元（べきれいげん、英: nilpotent element）は、数学の環の概念において特に重要な役割を果たす元です。ある環 R の元 x が存在する正の整数 n に対して、x の n 乗が 0 になるとき、x は冪零元と呼ばれます。この用語は、1870年頃にベンジャミン・パースによって導入されたもので、多元環の特定の性質に関する文脈から生まれました。

冪零元の具体例

冪零元の概念は数多くの数学的構造に適用できます。例えば、正方行列 A に対して、以下のような行列を考えます。

$$
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$
この行列は、A の 3 乗を計算すると 0 になるため、冪零元であることが確認できます。また、剰余環 Z/9Z の中で 3 の同値類は冪零元となり、何故ならば 3 の 2 乗は 9 を法として 0 と合同であるからです。

環 R において、元 a, b が ab = 0 を満たす場合、c = ba も冪零元であり、これは c の 2 乗が 0 であることから確認できます。具体的には、以下の 2 つの行列 A と B を考えます。

$$
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \\ B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
$$
これらの行列は AB = 0, BA = B を満たします。

冪零元の性質

冪零元にはいくつかの重要な特性があります。たとえば、唯一の元 0 = 1 を持つ零環 {0} を除いて、冪零元は常に単元ではありません。さらに、任意の 0 でない冪零元は零因子であることが証明できます。また、体係数の n 次正方行列 A が冪零であることは、その固有多項式が tn であることと同じ意味を持ちます。

冪零元 x があるとき、1 − x は単元であることが示されます。具体的には、以下の等式が成り立ちます。

$$
(1 - x)(1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}) = 1 - x^n = 1.
$$
このように、冪零元はさまざまな条件下でも有用に振る舞います。また、冪零元の和 u + x が存在する場合に、u と x が交換可能であれば、この和も冪零です。

可換環における冪零元

可換環 R において、冪零元全体はイデアル N を形成します。このイデアルは環の冪零根基を構成し、すべての冪零元 x はその環のすべての素イデアル p に含まれます。つまり、冪零元は素イデアルの共通部分に含まれることからも、その特性が示されています。

もし，有理数体の代数的構造や、物理学的枠組みの中で扱われる冪零性を考慮すると、Q^2 = 0 を満たすオペランド Q のように、様々な形で冪零元には現れます。たとえば、グラスマン数や BRST 電荷も物理学における冪零元の具体例です。

結論と展望

冪零元は、数学および物理学において多くの応用があり、その性質は理論的な研究や実用的な問題解決に貢献しています。今後もこの重要な概念が新たな発見を促し、さらに深い理解につながることが期待されています。関連するトピックには冪等元や冪零元イデアルが含まれ、これらの研究によって冪零元の理解がより深まります。

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